tle: “Problemas de Variables Aleatorias IV”

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1. La duración de las fuentes de alimentación con que se equipan los correntímetros de cierta marca utilizados en investigación oceanográfica sigue una distribución exponencial de parámetro \(\lambda=0.001\).

1. Calcula la proporción de correntímetros cuya fuente de alimentación dura entre 1514 y 1609 horas.

2. Siendo X la duración de una fuente de alimentación elegida al azar, calcula los valores a y b tales que \(P\left(X<a\right)=0.03\) y \(P\left(X>b\right)=0.08\) (y por tanto, \(P\left(a\le X\le b\right)=0.89\)).

3. Si la fuente de alimentación de uno de estos correntímetros ha durado ya 500 horas. ¿cuál es la probabilidad de que dure al menos 500 horas más?

4. Se dispone de 64 fuentes de alimentación de esta clase. Si cada vez que se agota la fuente de un correntímetro se reemplaza inmediatamente por otra, ¿cuál es la probabilidad de que las 64 fuentes permitan el funcionamiento ininterrumpido del aparato durante al menos 7 años?

5. Se han adquirido nuevos correntímetros de otra marca. Sabiendo que su duración es también exponencial y que el 80% de estos correntímetros duran menos de 1073 horas ¿cuál es la duración esperada de estos nuevos correntímetros?

Resultado Numérico

2. Se sabe que el tiempo de vida útil de un determinado modelo de boya de señalización marítima fabricado por una empresa sigue una distribución normal. Un estudio previo, encargado por el fabricante, sobre dicho modelo permite concluir que el 10% de las boyas se rompen antes de tres años y medio, mientras que un 7% supera los nueve años y medio de vida útil. En función de estos datos:

1. Determinar la media y varianza del tiempo de vida útil de dicho modelo de boya de señalización marítima.

2. Si se escoge un boya al azar y se instala en un determinado punto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una vida útil de al menos diez años?

3. Se dispone de 10 boyas de esta clase. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 tengan una vida útil inferior a diez años?.

4. Una boya lleva funcionando 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que falle antes de su quinto año de funcionamiento?

Resultado Numérico

3. El peso, en gramos, de las doradas adultas sigue una distribución normal de media 500 gr. y desviación típica 150 gr. Para su venta en el mercado se consideran tres categorías:

• Categoría A: con peso hasta 300 gr

• Categoría B: con peso entre 300 y 700 gr.

• Categoría C: con peso superior a 700 gr.

Una pescadería adquiere directamente de la piscifactoría 1000 doradas a un precio fijo de 2 €/kg. Si vende las de categoría A a 1.5 €/unidad, las de categoría B a 2 €/unidad y las de categoría C a 3 €/unidad, ¿cuál es el beneficio esperado de la venta de las 1000 doradas?

Resultado Numérico

4. Durante un partido los jugadores tiran a puerta \(N\) veces, de las cuáles solamente \(G\) acaban en gol. Sea \(P_G=\frac{G}{N}\) la proporción de goles marcados con respecto al número de tiros a puerta. Tanto \(N\) como \(G\) como \(P_G\) son, obviamente, variables aleatorias. Del historial del equipo \(A\) se sabe que la proporción \(P_G\) en cada partido es una variable aleatoria con distribución beta de parámetros \(\alpha=2\) y \(\beta=9\). Asimismo, para el equipo \(B\) dicha proporción sigue una distribución beta de parámetros \(\alpha=1.5\) y \(\beta=12\).

1. Calcula para cada equipo la probabilidad de que \(P_G\) sea mayor que 0.12.

2. Calcula para cada equipo el valor esperado y la varianza de \(P_G\)

3. Para un tercer equipo se sabe que la distribución de esta variable es también beta con parámetro \(\alpha=3\). Si el valor esperado de \(P_G\) es 0.3, calcula la probabilidad de que \(P_G\) sea mayor que 0.4.

Resultado Numérico

 

© 2016 Angelo Santana, Carmen N. Hernández, Departamento de Matemáticas   ULPGC