class: center, middle, inverse, title-slide # Estadística <br> Tema 1: Probabilidad ### <br><br><br>Grado en Ciencias del Mar --- background-image: url(http://estadistica-dma.ulpgc.es/estadFCM/imagenes/dadosColores.jpeg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # Fenómenos deterministas vs.<br> fenómenos aleatorios. --- # * Dejamos caer un cuerpo desde una altura `\(h\)`. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? -- * Se aplica una fuerza `\(F\)` sobre un cuerpo de masa `\(m\)`. ¿Qué aceleración experimenta ese cuerpo? -- * Se lanza al aire una moneda con dos caras ¿Cuál será el resultado? -- * Encendemos una lámpara. ¿Cuánto durará antes de fundirse? -- * Tiramos un dado. ¿Cuál es el número que va a salir? -- * Lanzamos al aire una moneda no trucada. ¿Cuál será el resultado? -- * Comenzamos la descarga de un archivo desde un servidor remoto ¿Se interrumpirá la descarga? -- * Comenzamos la descarga de un archivo desde un servidor remoto ¿Cuánto durará la descarga? --- ## Fenómenos deterministas. Son aquellos cuyo resultado puede predecirse exactamente. -- .pull-left[ * Tiempo que tarda un objeto en llegar al suelo cuando se deja caer desde una altura `\(h\)` conocida: `\(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)` <br> * Aceleración que experimenta un cuerpo de masa `\(m\)` al aplicarle una fuerza `\(F\)`: `\(a=\frac{F}{m}\)` <br> ] .pull-right[  ] * Resultado del lanzamiento de una moneda con dos caras: Cara --- background-image: url(http://estadistica-dma.ulpgc.es/estadFCM/imagenes/dadoanimado0059.gif) background-size: 100px background-position: 90% 8% ## Fenómenos aleatorios. Son aquellos cuyo resultado no puede predecirse exactamente. -- * Duración de una lámpara. * Número obtenido al lanzar un dado * La descarga del archivo se interrumpe o no. * Tiempo que se tarda en descargar un archivo de internet * Resultado obtenido al lanzar la moneda (Cara o Cruz) .pull-right[  ] --- # ¿Medir el azar? * Aunque un fenómeno sea aleatorio en muchas ocasiones podemos tener la certeza de que es más fácil que se produzcan unos resultados que otros. ??? Image credit: [](http://rea.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110627_secuencia_probabilidad.elp/ejercicios2.html) -- .pull-left[  ] .pull-right[ <br> __Por ejemplo:__ con los ojos cerrados revolvemos la urna de la imagen y sacamos una bola. ¿A qué resultado apostaríamos, a que sale bola azul, verde o roja? ] -- * ¿Cómo podemos medir cuantitativamente el grado de certeza que podemos tener a priori de que va a salir una bola azul, verde o roja? -- # .center[PROBABILIDAD] --- background-image: url(http://estadistica-dma.ulpgc.es/estadFCM/imagenes/filaDados.jpg) background-size: contain class: inverse, center, bottom # Antes de definir el concepto de probabilidad... --- ## Espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio Conjunto de todos los posibles __resultados elementales__ que puede presentar el fenómeno. ### .blue[Ejemplos:] * Lanzamiento de un dado al azar. `\(\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}\)` -- * Extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 negras `\(\Omega=\left\{ b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},\,n_{1},n_{2},n_{3}\right\}\)` -- * Lanzar dos veces consecutivas un dado `\(\Omega=\left\{\left(i,j\right):\,\,i,j=1,\ldots,6\right\}\)` -- * Extraer dos bolas al azar sin reemplazamiento de la urna con 5 bolas blancas y 3 negras `\(\Omega=\)` _Todas las parejas de bolas posibles_ = `$$\left\{ \left(b_{1},b_{2}\right),\left(b_{1},b_{3}\right),\left(b_{1},b_{4}\right),\left(b_{1},b_{5}\right),\left(b_{1},n_{1}\right),\left(b_{1},n_{2}\right),\left(b_{1},n_{3}\right),\right.\\ \left(b_{2},b_{3}\right),\left(b_{2},b_{4}\right),\left(b_{2},b_{5}\right),\left(b_{2},n_{1}\right),\left(b_{2},n_{2}\right),\left(b_{2},n_{3}\right),\left(b_{3},b_{4}\right), \\ \left(b_{3},b_{5}\right),\left(b_{3},n_{1}\right),\left(b_{3},n_{2}\right),\left(b_{3},n_{3}\right),\left(b_{4},b_{5}\right),\left(b_{4},n_{1}\right),\left(b_{4},n_{2}\right), \\ \left(b_{4},n_{3}\right),\left(b_{5},n_{1}\right),\left(b_{5},n_{2}\right),\left(b_{5},n_{3}\right),\left(n_{1},n_{2}\right),\left(n_{1},n_{3}\right),\left.\left(n_{2},n_{3}\right)\right\}$$` --- ## Espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio ### .blue[Ejemplos:] * Duración de un temporal: `$$\Omega=\mathbb{R}^{+}$$` -- * Número de hembras en una muestra aleatoria de `\(n\)` peces `$$\Omega=\{0, 1, 2, \dots, n\}$$` -- * Ganancia de peso (en kg) en un ejemplar de tilapia obtenido en cultivo. `$$\Omega=\left[0,\infty\right)$$` --- ## Sucesos Un __suceso__ es _cualquier resultado (no necesariamente elemental)_ de un fenómeno aleatorio. Los sucesos son por tanto, subconjuntos del espacio muestral `\(\Omega\)`. -- Algunos sucesos de particular interés: * __Suceso seguro__: es el que contiene todos los posibles resultados `\(\Omega\)` -- * __Suceso imposible__: es el que no contiene ninguno de los posibles resultados; se denota con el símbolo del conjunto vacío `\(\textrm{Ø}\)` -- * __Suceso contrario__: Dado un suceso `\(A\)`, el contrario `\(A^{C}\)`, está formado por todos los resultados de `\(\Omega\)` que no pertenecen a `\(A\)`. --- ## Sucesos * __Inclusión de sucesos__: Un suceso A está incluido o contenido en otro B, `\(A\subset B\)`, si siempre que ocurre A, ocurre también B -- * __Unión__: La unión de dos sucesos A y B es otro suceso que se representa por `\(A\cup B\)` y que consiste en la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos. -- * __Intersección__: La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso que se representa por `\(A\cap B\)` y que consiste en la ocurrencia simultánea de ambos sucesos. --- ## .red[Ejercicio] Considérese el fenómeno aleatorio consistente en lanzar un dado * Suceso seguro: * `\(A =\)` _Obtener número par_: * Contrario de A: * `\(B =\)` _Obtener número mayor que dos_: * `\(A\cup B=\)` ? * `\(A\cap B=\)` ? --- ## .red[Ejercicio] Considérese el fenómeno aleatorio consistente en lanzar un dado * Suceso seguro: `\(\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}\)` * `\(A =\)` _Obtener número par_ `\(=\left\{ 2,4,6\right\}\)` * Contrario de `\(A\)`: `\(A^{c}=\left\{ 1,3,5\right\}\)` * `\(B =\)` _Obtener número mayor que dos_ `\(=\left\{ 3,4,5,6\right\}\)` * `\(A\cup B=\left\{ 2,3,4,5,6\right\}\)` * `\(A\cap B=\left\{ 4,6\right\}\)` --- ## Diagramas de Venn Las operaciones con sucesos pueden representarse, igual que en teoría de conjuntos, mediante diagramas de Venn: `$$A=\left\{2,4,6\right\},\;\;B=\left\{3,4,5,6\right\}$$` .center[ <!-- --> ] --- ## Sucesos ### Incompatibilidad de sucesos Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente: `\(A\cap B=\textrm{Ø}\)` -- ### Sistema completo de sucesos Los sucesos `\(A_{1},\ldots,A_{n}\)` forman un sistema completo si: 1. `\(\Omega=A_{1}\cup\ldots\cup A_{n}\)` 2. `\(A_{i}\cap A_{j}=\textrm{Ø}\)`, para `\(i\neq j\)` --- ## Álgebra de sucesos Sea `\(\Omega\)` el espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio, y sea `\(\mathfrak{F}\)` una colección de sucesos de `\(\Omega\)`. El conjunto `\(\mathfrak{F}\)` es un __álgebra de sucesos__ si verifica: 1. `\(\Omega\in\mathfrak{F}\)` 2. Si `\(A\in\mathfrak{F}\)` entonces `\(A^{C}\in\mathfrak{F}\)` 3. Si `\(A, B\in\mathfrak{F}\)` entonces `\(A\cup B\in\mathfrak{F}\)` -- ### .red[Interpretación intuitiva] De un modo intuitivo, un álgebra de sucesos asociada a un fenómeno aleatorio es una colección de sucesos (simples y compuestos) que cumplen las reglas anteriores. El cumplimiento de estas reglas es necesario para poder definir adecuadamente una medida de probabilidad sobre estos sucesos. --- background-image: url(http://estadistica-dma.ulpgc.es/estadFCM/imagenes/dadosColores2.jpeg) background-size: cover class: inverse,right # Probabilidad --- ## Medidas de probabilidad __Definición intuitiva:__ La probabilidad de un suceso es una medida de cuantificación de la verosimilitud de su ocurrencia -- ### .blue[¿Cómo asignar valores de probabilidad a los sucesos de un espacio muestral?] -- #### Tres criterios: * Probabilidad exacta -- * Probabilidad frecuentista -- * Probabilidad subjetiva --- ## Definición axiomática de probabilidad Sean: * `\(\Omega\)` el espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio * `\(\mathfrak{F}\)` un álgebra de sucesos sobre `\(\Omega\)` Una .blue[__medida de probabilidad__] es una función definida sobre `\(\mathfrak{F}\)` que satisface los siguientes axiomas: 1. `\(0\le\Pr\left(A\right)\le1\,\,\,\forall A\in\mathfrak{{F\}}}\)` 2. `\(\Pr\left(\Omega\right)=1\)` 3. Si `\(A, B\in\mathfrak{F}\)` y `\(A\cap B=\textrm{Ø}\)`, entonces: `$$\Pr\left(A\cup B\right)=\Pr\left(A\right)+\Pr\left(B\right)$$` La terna `\(\left(\Omega,\mathcal{\mathfrak{F}},\Pr\right)\)` se llama .blue[__espacio de probabilidad__] --- ## Algunas propiedades de la Probabilidad 1. `\(\Pr\left(\textrm{Ø}\right)=0\)` -- 2. `\(\Pr\left(A^{C}\right)=1-\Pr\left(A\right)\)` -- 3. Si `\(A\subset B\)`, entonces `\(\Pr\left(A\right)\leq\Pr\left(B\right)\)` -- 4. `\(\Pr\left(A\cup B\right)=\Pr\left(A\right)+\Pr\left(B\right)-\Pr\left(A\cap B\right)\)` --- ## Cálculo de probabilidades: Regla de Laplace .pull-left[  .small[ [[Pierre Simon de Laplace en Wikipedia]](https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace) ] ] .pull-right[ Sea `\(\Omega\)` un espacio muestral finito en el que __todos sus resultados son equiprobables__. Por tanto, si `\(\#\left(\Omega\right)=N\)`, la probabilidad de cada suceso elemental es `\(\frac{1}{N}\)` Si consideramos un suceso `\(A\)` tal que `\(\#\left(A\right)=r\)`, entonces: `$$\Pr\left(A\right)=\frac{r}{N}=\frac{\textrm{Casos Favorables a A}}{\textrm{Casos Posibles}}$$` ] --- ## .blue[Ejemplo de aplicación de la Regla de Laplace] De una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 negras se extraen 2 bolas, consecutivamente y sin reemplazamiento. El espacio muestral `\(\Omega\)` está formado por todas las variaciones de las 8 bolas que hay en la urna tomadas 2 a 2, lo que significa que `\(\#\left(\Omega\right)=8\cdot7 = 56\)`. Entonces: .small90[ * `\(\Pr\left(\textrm{Ambas blancas}\right)=\Pr\left(B\cap B\right)=\frac{\#\left(B\cap B\right)}{\#\left(\Omega\right)}=\frac{5\cdot4}{56}=0.357\)` ] -- .small90[ * `\(\Pr\left(\textrm{Primera blanca y segunda negra}\right)=\Pr\left(B\cap N\right)=\frac{\#\left(B\cap N\right)}{\#\left(\Omega\right)}=\frac{5\cdot3}{56}=0.268\)` ] -- .small90[ * `\(\Pr\left(\textrm{Una blanca y otra negra}\right)=\Pr\left(B\cap N\right)+\Pr\left(N\cap B\right)=\)` ] .small90[ `\(\hspace{7cm}=\frac{\#\left(B\cap N\right)+\#\left(N\cap B\right)}{P\left(\Omega\right)}=\frac{5\cdot3+3\cdot5}{56}=0.536\)` ] --- ## Probabilidad condicionada Un suceso `\(A\)` contiene información de otro suceso `\(B\)`, cuando la ocurrencia o no de `\(A\)` modifica la probabilidad de `\(B\)`. ### .blue[Ejemplos:] * Se lanza un dado dos veces: si la primera vez sale un 2 ¿ello nos da alguna información sobre lo que saldrá la segunda vez? -- * En una urna hay dos bolas blancas y una negra. Se sacan dos bolas, sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Informa el color de la primera bola sobre el color de la segunda? --- ## Probabilidad condicionada Se define la probabilidad del suceso `\(B\)` condicionado por el suceso `\(A\)` como: `$$\Pr\left(B\mid A\right)=\frac{\Pr\left(A\cap B\right)}{\Pr\left(A\right)}$$` -- ## Regla multiplicativa De la definición de probabilidad condicionada se sigue que: `$$\Pr\left(A\cap B\right)=\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\mid A\right)$$` y también: `$$\Pr\left(A\cap B\cap C\right)=\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\mid A\right)\Pr\left(C\mid A\cap B\right)$$` --- ### Algunas propiedades: * `\(\Pr\left(\Omega\mid A\right)=1\)` * Si `\(B\cap C=\textrm{Ø}\)`, entonces `\(\Pr\left(B\cup C\mid A\right)=\Pr\left(B\mid A\right)+\Pr\left(C\mid A\right)\)` -- ### .red[Ejercicio] Una urna contiene 10 bolas blancas, 10 rojas y 10 verdes. Se extraen dos bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda verde cuando: (a) La primera bola se reintroduce en la urna antes de extraer la segunda. (b) La primera bola se deja fuera de la urna antes de extraer la segunda. --- ## Independencia de sucesos Un suceso B es __independiente__ de A cuando A no contiene información sobre B, esto es: `$$\Pr\left(B\mid A\right)=\Pr\left(B\right)$$` -- Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B: `$$\Pr\left(A\left|B\right.\right)=\frac{\Pr\left(A\cap B\right)}{\Pr\left(B\right)}=\frac{\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\left|A\right.\right)}{\Pr\left(B\right)}=\frac{\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\right)}{\Pr\left(B\right)}=\Pr\left(A\right)$$` Por tanto A y B se dicen _mutuamente independientes_ o simplemente __independientes__. -- De la definición de probabilidad condicionada se sigue que los sucesos A y B son independientes, si y solo si : `$$\Pr\left(A\cap B\right)=\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\right)$$` -- Esta última probabilidad se puede generalizar a `\(n\)` sucesos independientes: `$$\Pr\left(A_{1}\cap A_{2}\cap\cdots\cap A_{n}\right)=\Pr\left(A_{1}\right)\Pr\left(A_{2}\right)\cdots\Pr\left(A_{n}\right)$$` --- ## Teorema de la probabilidad total. Sea `\(\left\{A_{1},\ldots A_{n}\right\}\)` un sistema completo de sucesos definido sobre un espacio muestral `\(\Omega\)`, y sea `\(B\)` un suceso arbitrario de `\(\Omega\)`. El __teorema de la probabilidad total__ especifica que: `$$\Pr\left(B\right)=\sum\limits _{i=1}^{n}\Pr\left(B|A_{i}\right)\Pr\left(A_{i}\right)$$` -- ### .blue[Demostración:] `$$B=\left(A_{1}\cap B\right)\cup\cdots\cup\left(A_{n}\cap B\right)$$` Como los sucesos `\(\left(A_{i}\cap B\right)\)` son incompatibles dos a dos, se tiene que: `$$\Pr\left(B\right)=\sum_{i=1}^{n}\Pr\left(A_{i}\cap B\right)=\sum_{i=1}^{n}\Pr\left(B\mid A_{i}\right)\Pr\left(A_{i}\right)$$` --- ## Teorema de Bayes .pull-left[  ] .pull-right[ Sea `\(\left\{A_{1},\ldots A_{n}\right\}\)` un sistema completo de sucesos definido sobre un espacio muestral `\(\Omega\)`, y sea `\(B\)` un suceso arbitrario de `\(\Omega\)`. Entonces: `$$\Pr(A_{i}\mid B)=\frac{\Pr\left(B\mid A_{i}\right)\Pr\left(A_{i}\right)}{\Pr\left(B\right)}=\\ \; \\ =\frac{\Pr\left(B\mid A_{i}\right)\Pr\left(A_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n}\Pr(B\mid A_{j})\Pr(A_{j})}$$` ] <br><br><br><br> .small[ [Thomas Bayes en Wikipedia](https://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes) ] --- ### .red[Ejercicio: aplicación del teorema de Bayes] Considérense tres urnas con la siguiente composición de bolas blancas y negras: * `\(U_{1}\)` contiene tres bolas blancas y dos negras, * `\(U_{2}\)` cuatro blancas y dos negras y * `\(U_{3}\)` una blanca y cuatro negras. Se selecciona una urna al azar y seguidamente una bola de la urna elegida. a. Hallar la probabilidad de que la bola seleccionada sea blanca. b. Probabilidad de que haya sido elegida la segunda urna supuesto que la bola extraída fue blanca.