1. De un terrario con 60 tortugas, de las que 10 son machos y 50 hembras, se extraen al azar 5 ejemplares.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 sean hembras?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 1 macho?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un macho?

  4. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que habría que extraer para que la probabilidad de que haya al menos un macho sea superior al 20%?

 

  1. 0.3879439
  2. 0.4216781
  3. 0.6120561
  4. 0.3079096


  1. Se tira sucesivas veces una moneda hasta que sale cruz. Calcular la probabilidad de que

  1. salga cruz en la primera tirada.

  2. salga cruz en la décima tirada.

  3. salga cruz después de la décima tirada.

 

Los resultados de los sucesivos lanzamientos de la moneda son independientes (ya que ningún resultado aporta información sobre cuál va a ser el siguiente resultado).

  1. Es equivalente a sacar cruz al tirar una moneda.

  2. ¿Influyen de alguna manera los 9 primeros lanzamientos en el resultado del décimo?

  3. Es equivalente a que no haya salido cruz en ninguno de los diez primeros lanzamientos.

  a) 0.5

  1. 9.76562510^{-4}

  2. 9.76562510^{-4}


  1. Se lanzan dos dados.

  1. Hallar la probabilidad de que su suma sea par si se lanzan ambos dados a la vez.

  2. Idem si se lanzan sucesivamente, y en el primer dado ha salido un número par.

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un dos si se sabe que la suma de ambos es par?

 

  1. Para que la suma sea par, los resultados de los dados deben ser ambos pares o ambos impares. El problema puede resolverse utilizando la regla de Laplace.

  2. y (c) Utilizar probabilidad condicionada.

 

  1. 0.5

  2. 0.5

  3. 0.2777778


  1. Una máquina fabrica piezas para motores de barco. La probabilidad de que una pieza resulte defectuosa es de 0.005. Estas piezas se venden en lotes de 100. En el control de calidad de la empresa se rechazan los lotes que contienen dos o más piezas defectuosas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote elegido al azar sea rechazado?

  2. Se han fabricado 100 lotes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean rechazados en el control de calidad?

 

  1. Sea X el número de piezas defectuosas del lote. Entoces la probabilidad de que un lote sea rechazado es \(P\left(X\ge2\right)=1-P\left(X<2\right)=1-\left(P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)\right)\). Para calcular \(P\left(X=0\right)\) y \(P\left(X=1\right)\) basta considerar que el que una pieza sea defectuosa es independiente de que lo sean las demás.

  2. Sea ahora Y el número de lotes rechazados entre 100. La probabilidad de que sean rechazados al menos dos es \(P\left(Y\ge2\right)\), que se calcula de modo análogo al apartado anterior.

 

  1. 0.08982231

  2. 0.9991112


  1. Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 negras. Se extraen 6 bolas. Calcular la probabilidad de que:

  1. salgan todas negras.

  2. salgan todas blancas

  3. salgan tres negras y tres blancas

  4. salga al menos una blanca

  5. salga al menos una negra

  6. salga al menos una negra si ya han salido dos blancas.

Responder a estas seis preguntas en cada uno de los dos casos siguientes:

  1. las cinco bolas se extraen simultáneamente (muestreo sin reemplazamiento)

  2. las bolas se van sacando de una en una, siendo cada vez devueltas a la bolsa (muestreo con reemplazamiento)

 

  1. Sin reemplazamiento: se puede calcular la probabilidad mediante la regla de Laplace de modo análogo al problema 2.
  1. Con reemplazamiento: si las bolas se devuelven a la urna, cada extracción es independiente de las anteriores, y el cálculo puede realizarse de modo análogo al apartado (c) del problema 1.

 

  1. Sin reemplazamiento
    1. 0
    2. 0.04195804
    3. 0.2397602
    4. 1
    5. 0.958042
    6. 0.957958
  2. Con reemplazamiento
    1. 0.001371742
    2. 0.0877915
    3. 0.2194787
    4. 0.9986283
    5. 0.9122085
    6. 0.9106145


  1. Un examen consta de 10 preguntas, en cada una de las cuales hay que responder a, b o c. Cada pregunta bien contestada vale un punto y se aprueba con una calificación de, al menos, cinco puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que elige cada respuesta al azar apruebe el examen?

 

Si las respuestas se eligen al azar, la probabilidad de contestar correctamente a cada pregunta es 1/3. Si X es el número de preguntas bien contestadas, la probabilidad de aprobar es \(P\left(X\ge5\right)=P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)+P\left(X=7\right)+P\left(X=8\right)+P\left(X=9\right)+P\left(X=10\right)\). Cada probabilidad \(P\left(X=k\right)\) es igual a la probabilidad de contestar k preguntas bien y 10-k mal; como las distintas respuestas son independientes esta probabilidad se calcula como producto de probabilidades; además debe sumarse tantas veces como formas haya de contestar bien k preguntas de 10 (por ejemplo, para k=5, no es lo mismo contestar bien las preguntas 1,2,3,4 y 5 y contestar mal las demás, que contestar bien sólo la 1,3,5,7 y 8).

 

0.2131281


  1. Una puerta tiene dos cerraduras distintas. Se dispone de seis llaves semejantes entre las que se encuentran las dos que abren la puerta. ¿Cuál es la probabilidad de abrir la puerta con las dos primeras llaves que se prueben? Si se pierde una llave de las seis ¿cuál es la probabilidad de que aún se pueda abrir la puerta?

 

Para el primer apartado puede aplicarse la regla de Laplace: solo hay un caso favorable (acertar las dos llaves correctas), y los posibles serán todas las formas de elegir dos llaves entre seis.

 

Abrir la puerta a la primera 0.03333333

Abrir si se pierde una llave 0.6666667


  1. Un químico asegura haber ideado un análisis para identificar cuatro compuestos químicos A, B, C y D cuando éstos se hallan disueltos en agua. A este químico se le entregan cuatro probetas cada una de las cuales contiene uno de dichos compuestos en disolución. Supongamos que realmente el análisis no funciona y que los compuestos sólo son identificados por casualidad.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente los cuatro compuestos?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que identifique 2?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que identifique sólo uno?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que no identifique ninguno?.

 

Como cada identificación se realiza puramente al azar, la probabilidad de que sea correcta es 1/4. Si se realizan 4 identificaciones, para calcular la probabilidad de k correctas bastará tener en cuenta que son independientes entre sí.

 

  1. 0.00390625

  2. 0.2109375

  3. 0.421875

  4. 0.3164063

 





© 2016 Angelo Santana, Carmen N. Hernández, Departamento de Matemáticas   ULPGC