Para la producción en piscifactoría de ejemplares de tilapia del Nilo, Oreochromis niloticus (Linnaeus, 1757), se estudia la posible rentabilidad de complementar la dieta con la hormona 17 alfa metil-testosterona (17-AMT), que se supone tiene como efecto un incremento de peso adicional en los peces alimentados con ella. Supongamos que:

Se disponen 40 tilapias juveniles de pesos iniciales idénticos en dos tanques (20 tilapias en cada tanque). Las tilapias del tanque 1 son alimentadas durante 30 días con una dieta estándar; las del tanque 2 son alimentadas durante el mismo periodo con una dieta enriquecida en la hormona 17-AMT. En estas condiciones:


  1. Se elige al azar una tilapia del tanque 1 (criada en condiciones naturales)

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que pese más de 280 gramos?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que pese menos de 260 gramos?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 260 y 280 gramos?
    4. Responde de nuevo a las tres cuestiones anteriores si se sabe que todas las tilapias del tanque 1 pesan más de 250 gramos.

 

  1. 0.0912112
  2. 0.5
  3. 0.4087888
    1. 0.1220205
    2. 0.3311104
    3. 0.5468692


  1. Se elige al azar una tilapia del tanque 2 (criada con dieta enriquecida en FM)

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que pese más de 280 gramos?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que pese menos de 260 gramos?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 260 y 280 gramos?
    4. Responde de nuevo a las tres cuestiones anteriores si se sabe que todas las tilapias del tanque 2 pesan menos de 320 gramos.

 

  1. 0.6914625

  2. 0.0668072

  3. 0.2417303

    1. 0.6693743

    2. 0.0715899

    3. 0.2590358


  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de las 20 tilapias del tanque 1 supere los 5 kg?

 

Sean \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con distribución \(N\left(\mu,\sigma\right)\) entonces si consideramos la suma \[S=\sum_{i=1}^{20}X_{i}\approx N\left(n\cdot\mu,\sqrt{n\cdot\sigma^{2}}\right)\]

 

0.9985654


  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de las 20 tilapias del tanque 2 supere los 6 kg?

 

0.0126737


  1. Se eligen al azar una tilapia del tanque 1 y otra del tanque 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda pese al menos 25 gramos más que la primera?

 

Sea \(X_1\) una varible aleatoria con distribución \(N\left(\mu_1,\sigma_1\right)\) y \(X_2\), otra variable aleatoria independiente de la anterior y con distribución \(N\left(\mu_2,\sigma_2\right)\) entonces si consideramos la diferencia \[X_{1}-X_{2}\approx N\left(\mu_1-\mu_2,\sqrt{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}\right)\]

 

0.5792597


  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de las tilapias del tanque 2 supere en al menos en un kilogramo el peso total de las tilapias del tanque 1?

 

1.733096810^{-4}


  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tilapias del tanque 2 supere en al menos 25 gramos el peso medio de las tilapias del tanque 1?

 

Sean \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\) variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con distribución \(N\left(\mu,\sigma\right)\) entonces si consideramos la media

\[\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sim N\left(\mu,\sigma/\sqrt{n}\right)\]

 

0.8144606


  1. Con probabilidad 0.95, ¿Cuál es el valor máximo que cabe esperar si se suma el peso de todos los peces del tanque 1 tras un periodo de 30 días?

 

5310.34


  1. Con probabilidad 0.95, ¿Cuál es el valor mínimo que cabe esperar si se suma el peso de todos los peces del tanque 2 tras un periodo de 30 días?

 

5310.34


  1. Calcula un intervalo de la forma \(\left[\mu-\Delta,\mu+\Delta\right]\), siendo \(\mu=260\) el peso medio de las tilapias criadas en condiciones naturales, para el que \(P\left(\overline{X}\in\left[\mu-\Delta,\mu+\Delta\right]\right)=0.95\), siendo \(\overline{X}\) el peso medio de las 20 tilapias del experimento 1.

 

[253.43, 266.57]. \(\Delta=6.57\).


  1. Repite el problema anterior para las tilapias del experimento 2, siendo ahora \(\mu=290\)

 

[281.24, 298.76]. \(\Delta=8.76\).


  1. Supongamos ahora que la hormona no tiene efecto en el incremento de peso de las tilapias, y que en realidad dicho incremento durante el periodo de cría de 30 días es en promedio el mismo tanto si se la alimenta con la hormona 17-AMT como si no. En cualquier caso sí que es admisible la hipótesis de que las desviaciones típicas son diferentes, 15 gr cuando los peces se crían sin hormonas y 25 gr cuando se crían con ellas (se observa mucha más variabilidad en los pesos de las tilapias hormonadas). Si esto es así, llamando \(\overline{X}_{1}\) al peso medio de las tilapias del tanque 1, \(\overline{X}_{2}\) al peso medio de las del tanque 2, y \(D=\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\) a la diferencia, determina el valor \(d\) tal que \(P\left(\left|D\right|\le d\right)=0.95\)

 

\(\left[-12.78,12.78\right]\)

 





© 2016 Angelo Santana, Carmen N. Hernández, Departamento de Matemáticas   ULPGC