Tema 5: Inferencia Estadística II. Estimación por Intervalos de Confianza con R

class: center, middle, inverse, title-slide

# Tema 5: Inferencia Estadística II. Estimación por Intervalos de Confianza con R
### <br><br><br>Estadística. Grado en Ciencias del Mar

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# .blue[Cálculo de Intervalos de Confianza con R]

* R dispone de numerosas funciones para construir intervalos de confianza con suma facilidad.

* Utilizaremos los datos del archivo `datosP1Aula.xlsx` (estudio del anidamiento de tortugas en Boa Vista,  Cabo Verde) como ejemplo para la construcción de todos los intervalos tratados en este tema.

* Supondremos que el archivo está en la carpeta `Descargas` de nuestro directorio personal. Podemos leerlo mediante:
--

```r
library(readxl)
tortugas <- read_excel("~/Descargas/datosP1Aula.xlsx")
```

.resalta[
__ ¡¡Supondremos que esta muestra es representativa de la población de tortugas que anida en esta isla!!__
]

---

# .blue[Cálculo de Intervalos de Confianza con R]

El contenido del archivo corresponde a datos de varias campañas para el estudio de la tortuga _Caretta caretta_ realizadas entre 1999 y 2004 en la isla de Boa Vista (Cabo Verde). Durante cada campaña se observaron los nidos excavados en cada una de cuatro playas de la isla (Ervatao, Ponta Cosme, Calheta y Porto Ferreiro). Para cada nido se midieron las siguientes variables:
--

* Variables biométricas del ejemplar que construyó el nido: __LCC__ (Longitud Curva del Caparazón, en cm.), __ACC__ (Anchura Curva del Caparazón, en cm) y __Peso__.

* Tamaño de la puesta (número de huevos depositados en el nido).

* Distancia (en metros) medida perpendicularmente desde la linea de marea alta hasta la posición del nido.

* Profundidad del nido (cm).

* Para algunos nidos se midieron además: el número de crías emergidas, el número de crías muertas, el número de huevos rotos, y la presencia de cangrejos en el interior del nido (1:Sí / 0:No)

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### Intervalo para la media `$\mu$` de una variable `$X$` con distribución normal
.resalta[
`$$\mu \in \left[{\bar{X}-\frac{S}{{\sqrt{n}}}t_{n-1,\alpha/2},\bar{X}+\frac{S}{{\sqrt{n}}}t_{n-1,\alpha/2}}\right]$$`
]

.fondoAzul[
Calcular el intervalo de confianza al 95% para el peso medio de las tortugas en la población.
]

```r
mean(tortugas$peso)
```

```
## [1] 60.6892
```

```r
t.test(tortugas$peso)$conf.int
```

```
## [1] 60.06344 61.31496
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

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### Intervalo para la media `$\mu$` de una variable `$X$` con distribución normal

##### ¿Es normal la variable `peso`?

La gráfica que se muestra a continuación representa un histograma de los pesos de las tortugas observadas en la isla, así como una versión "_suavizada_" del histograma (es lo que se denomina "_densidad empírica_"). Asimismo se ha superpuesto la función de densidad teórica de una variable normal cuya media y desviación típica son las correspondientes a los pesos observados. .red[Si la variable peso es normal cabe esperar que las densidades empírica y teórica sean similares].

<br>

.resalta[
En cualquier caso, dado que hay 250 observaciones de peso, por efecto del teorema central del límite el intervalo sería aproximadamente válido aunque la variable no fuese normal.
]
---

### Intervalo para la media `$\mu$` de una variable `$X$` con distribución normal

```r
ggplot(tortugas,aes(x=peso)) +
  geom_histogram(aes(y=..density..), bins=10, fill="lightcyan",
            col="black") + geom_density(aes(color="Empírica")) +  
  stat_function(fun = dnorm, aes(color="Teórica"),
                args = list(mean = mean(tortugas$peso,na.rm=TRUE), 
                            sd = sd(tortugas$peso,na.rm=TRUE)))+
  scale_color_manual("Densidad",values=c("blue","red"))
```

--
Es admisible admitir la normalidad de la variable _Peso_.

---

### Intervalo para la media `$\mu$` de una variable `$X$` con distribución normal

#### .blue[Ejercicio]

.fondoAzul[
Construye intervalos de confianza para las medias poblacionales de las variables:

* LCC, 
  
  * ACC, 
  
  * distancia a la línea de costa 
  
  * profundidad del nido.
]
---

### Intervalo para la varianza `$\sigma^{2}$` de una variable con distribución normal

.resalta[
`$$\sigma^2 \in \left[\frac{\left(n-1\right)S^{2}}{\chi_{n-1,\alpha/2}^{2}},\,\frac{\left(n-1\right)S^{2}}{\chi_{n-1,1-\alpha/2}^{2}}\right]$$`
]

.fondoAzul[
Calcular un intervalo de confianza al 99% para la varianza del peso en la población
]

```r
var(tortugas$peso)
```

```
## [1] 25.23639
```

```r
library(TeachingDemos)
sigma.test(tortugas$peso, conf.level = 0.99)$conf.int
```

```
## [1] 20.25544 32.17940
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
```

---

### Intervalo para la varianza `$\sigma^{2}$` de una variable con distribución normal

#### .blue[Ejercicio]

.fondoAzul[
Construye intervalos de confianza para las varianzas poblacionales de las variables:

* LCC, 
  
  * ACC, 
  
  * distancia a la línea de costa 
  
  * profundidad del nido.
]

---

### Intervalo para el cociente de varianzas `$\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}$` de variables normales.

.fondoAzul[
Se desea comparar la variabilidad (varianza) del peso de las tortugas que anidan en Calheta con las que anidan en Ponta Cosme.
]
--

Primero calculamos la varianza en cada playa:

```r
tortugasCPC <- subset(tortugas,
                      playa=="Calheta"|playa=="Ponta Cosme") 
aggregate(peso~playa,data=tortugasCPC,var)
```

```
##         playa     peso
## 1     Calheta 35.51222
## 2 Ponta Cosme 24.04994
```

---

### Cociente de varianzas `$\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}$` de variables normales.

.resalta[
`$$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \in \left[\frac{S_{1}^{2}/S_{2}^{2}}{F_{n_{1}-1,n_{2}-1,\alpha/2}},\frac{S_{1}^{2}/S_{2}^{2}}{F_{n_{1}-1,n_{2}-1,1-\alpha/2}}\right]$$`
]

.fondoAzul[
Ahora calculamos el intervalo de confianza para el cociente de varianzas del peso de las tortugas en las dos playas:
]

```r
var.test(peso~playa, data=tortugasCPC)$conf.int
```

```
## [1] 0.868942 2.697037
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

El intervalo contiene al 1. Por tanto, con una confianza del 95%  no podemos asegurar que la varianza del peso sea distinta en ambas playas.

---

### Intervalo para el cociente de varianzas `$\sigma_{1}^{2}/\sigma_{2}^{2}$` de variables normales.

#### .blue[Ejercicio]

.fondoAzul[
* Calcula un intervalo de confianza al 90% para el cociente de las varianzas del peso de las tortugas en las playas de Ervatao y Porto Ferreiro

* Calcula un intervalo al 99% para el cociente de las varianzas de la LCC entre las playas de Ervatao y Calheta

* Calcula un intervalo de confianza para el cociente de las varianzas de la profundidad de los nidos según que éstos tengan o no cangrejos.

* Calcula un intervalo de confianza para el cociente de las varianzas de distancia a la linea de marea en las campañas de 1999 y 2004.
]

---

### Intervalo para la diferencia de medias de variables normales .red[independientes]

.fondoAzul[
Supongamos ahora que queremos comparar mediante un intervalo el peso medio de las tortugas que anidan en Calheta con las que anidan en Ponta Cosme. 
]
--

Los valores medios observados en la muestra pueden calcularse mediante:

```r
aggregate(peso~playa,data=tortugasCPC,mean)
```

```
##         playa     peso
## 1     Calheta 59.38857
## 2 Ponta Cosme 61.81667
```

---

### Intervalo para la diferencia de medias de variables normales .red[independientes]

* Si suponemos que las varianzas del peso en ambas playas son .blue[ __iguales__] `$\left(\sigma_{1}=\sigma_{2}\right)$`, , el intervalo es:

`$${\small\bbox[#ffff80]{\mu_1-\mu_2\in\left[{\left({\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}\right)\pm t_{n_{1}+n_{2}-2,\alpha/2}s_{p}\sqrt{\frac{1}{{n_{1}}}+\frac{1}{{n_{2}}}}}\right]} \;\quad  s_{p}=\sqrt{\frac{{\left({n_{1}-1}\right)s_{1}^{2}+\left({n_{2}-1}\right)s_{2}^{2}}}{{n_{1}+n_{2}-2}}}}$$`

que en R se calcula mediante:

```r
t.test(peso~playa,data=tortugasCPC,var.equal=TRUE)$conf.int
```

```
## [1] -4.4852781 -0.3709124
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

---

### Intervalo para la diferencia de medias de variables normales .red[independientes]

* Si suponemos que las varianzas del peso en ambas playas son .blue[ __distintas__]  `$\left(\sigma_{1}\ne\sigma_{2}\right)$` el intervalo es:

`$${\small\bbox[#ffff80]{\mu_1-\mu_2\in\left[\left({\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}\right)\pm t_{n,}{}_{\alpha/2}\sqrt{\frac{{s_{1}^{2}}}{{n_{1}}}+\frac{{s_{2}^{2}}}{{n_{2}}}}\right]} \quad \;  n=\frac{{\left({\frac{{s_{1}^{2}}}{{n_{1}}}+\frac{{s_{2}^{2}}}{{n_{2}}}}\right)^{2}}}{{\left({\frac{{s_{1}^{2}}}{{n_{1}}}}\right)^{2}\frac{1}{{n_{1}-1}}+\left({\frac{{s_{2}^{2}}}{{n_{2}}}}\right)^{2}\frac{1}{{n_{2}-1}}}}}$$`

que en R se calcula mediante:

```r
t.test(peso~playa,data=tortugasCPC,var.equal=FALSE)$conf.int
```

```
## [1] -4.6991167 -0.1570738
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

Este intervalo es algo más amplio que el anterior (se calcula con menos información al no asumir que las varianzas son iguales). .resalta[__Este intervalo es preferible al anterior__]

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[independientes] (sólo si `$\small n_{1}\ge30,n_{2}\ge30$`).

.resalta[
`$$\small\mu_1-\mu_2\in\left[\left({\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}\right)\pm z{}_{\alpha/2}\sqrt{\frac{{s_{1}^{2}}}{{n_{1}}}+\frac{{s_{2}^{2}}}{{n_{2}}}}\right]$$`
]

Para calcular este intervalo también podemos usar la función `t-test` de R (considerando varianzas distintas), ya que la forma del intervalo es idéntica salvo que se ha sustituido la `$t_{n-1,\alpha/2}$` por la `$z_{\alpha/2}$` y para `$n$` grande, ambos valores son prácticamente idénticos, `$t_{n-1,\alpha/2}\cong z_{\alpha/2}$`.

<br>

.fondoAzul[
Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia entre las distancias medias de los nidos a la orilla en las playas de Ervatao y Ponta Cosme. ¿Hay evidencias de que dicha distancia media difiere entre playas?
]

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[independientes] (sólo si `$\small n_{1}\ge30,n_{2}\ge30$`).

Construimos una gráfica con los histogramas de la variable _distancia_ en cada una de las dos playas para valorar la normalidad de dicha variable en cada playa:

```r
ggplot(subset(tortugas,playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme"), 
       aes(x=distancia)) +
  geom_histogram(aes(y=..density..), bins=10, fill="lightcyan",
            col="black") + 
  geom_density(aes(color="Empírica")) +  
  stat_function(fun = dnorm, aes(color="Teórica"),
          args = list(mean = mean(tortugas$distancia,na.rm=TRUE), 
                      sd = sd(tortugas$distancia,na.rm=TRUE)))+
  scale_color_manual("Densidad",values=c("blue","red")) + 
  facet_grid(playa~.)
```

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### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[independientes] (sólo si `$\small n_{1}\ge30,n_{2}\ge30$`).

![](practica5_Estimacion_Intervalos_con_R_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png)

La variable _distancia a la orilla_ parece presentar una distribución no normal; no obstante, dado que en cada playa el número de observaciones es mayor que 30, podemos aplicar `t-test`.

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[independientes] (sólo si `$\small n_{1}\ge30,n_{2}\ge30$`).

```r
library(dplyr); library(knitr); library(kableExtra)
tortugas%>% 
  filter(playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme") %>% 
  group_by(playa) %>% 
  summarize(media=mean(distancia), sd=sd(distancia), n=length(distancia)) %>% 
  kable() %>%  kable_styling(full_width = FALSE, font_size=18)
```

<table class="table" style="font-size: 18px; width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> playa </th>
   <th style="text-align:right;"> media </th>
   <th style="text-align:right;"> sd </th>
   <th style="text-align:right;"> n </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ervatao </td>
   <td style="text-align:right;"> 23.51957 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.539934 </td>
   <td style="text-align:right;"> 92 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ponta Cosme </td>
   <td style="text-align:right;"> 25.83333 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.893752 </td>
   <td style="text-align:right;"> 90 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

```r
t.test(distancia~playa,
       data=subset(tortugas,playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme"),
       conf.level=0.90)$conf.int
```

```
## [1] -4.083745 -0.543791
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9
```

---

### Diferencia de medias de variables .red[independientes]

.fondoAzul[

#### .blue[Ejercicios]

1. Compara mediante un intervalo de confianza la diferencia entre los pesos medios de las tortugas que llegan en el periodo 1 con las que llegan en el periodo 5.

2. Compara mediante un intervalo de confianza la diferencia entre los valores medios de LCC de las tortugas que llegan en el periodo 1 con las que llegan en el periodo 5.

3. Compara mediante un intervalo de confianza la diferencia entre las profundidades medias de los nidos que tienen cangrejos y los que no los tienen.

4. Compara mediante un intervalo de confianza la profundidad media de los nidos de Ervatao con los de Ponta Cosme.

]

---

### Diferencia de medias de variables normales .red[emparejadas]

.fondoAzul[
Calcular un intervalo de confianza para la diferencia media entre las variables LCC y ACC. 
]

Como ambas medidas se toman sobre la misma tortuga, pueden considerarse __variables emparejadas__. Sus valores medios en nuestra muestra de tortugas son:

```r
mean(tortugas$LCC)
```

```
## [1] 82.2788
```

```r
mean(tortugas$ACC)
```

```
## [1] 77.2448
```

---

### Diferencia de medias de variables normales .red[emparejadas]

Ambas variables presentan además una correlación relativamente alta:

```r
cor(tortugas$LCC,tortugas$ACC)
```

```
## [1] 0.8316105
```

```r
ggplot(tortugas,aes(x=LCC,y=ACC)) + geom_point()
```

![](practica5_Estimacion_Intervalos_con_R_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png)

---

### Diferencia de medias de variables normales .red[emparejadas]

`$${\small\bbox[#ffff80]{\mu_{1}-\mu_{2}\in\left[\left(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)\pm t_{n-1,\alpha/2}\frac{S_{D}}{\sqrt{n}}\right]}\quad S_{D}=\sqrt{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{12}}=\sqrt{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2rS_{1}S_{2}}}$$`

El intervalo de confianza para la diferencia entre los valores medios de ACC y LCC en R se obtiene mediante:

```r
t.test(tortugas$LCC, tortugas$ACC, paired=TRUE)$conf.int
```

```
## [1] 4.691706 5.376294
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[emparejadas] (sólo si `$\small n\ge 60$`)

.resalta[
`$$\small \mu_1-\mu_2\in\left[\left({\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}\right)\pm z_{\alpha/2}\frac{{S_{D}}}{{\sqrt{n}}}\right]$$`
]

Cuando `$n$` es grande, los percentiles de la `$t_{n-1}$` son muy parecidos a los de la `$N(0,1)$`:

`$$z_{\alpha/2}\cong t_{n-1,\alpha/2}$$`
con lo que este intervalo es prácticamente idéntico al ya visto para variables normales:
`$$\small \mu_{1}-\mu_{2}\in\left[\left(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)\pm t_{n-1,\alpha/2}\frac{S_{D}}{\sqrt{n}}\right]$$`
que es el que usaremos con R en caso de variables no normales y `$n$` grande.

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[emparejadas]

En realidad,la variable LCC presenta indicios de falta de normalidad:

```r
ggplot(tortugas,aes(x=LCC)) +
  geom_histogram(aes(y=..density..), bins=10) + geom_density() +  
  stat_function(fun = dnorm, color="red",
                args = list(mean = mean(tortugas$LCC,na.rm=TRUE), 
                            sd = sd(tortugas$LCC,na.rm=TRUE)))
```

No obstante, dado que el tamaño de muestra es grande, el intervalo calculado antes mediante `t.test`  para la diferencia entre `$\mu_{LCC}-\mu_{ACC}$` es aproximadamente correcto.

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[emparejadas] (sólo si `$\small n\ge 60$`)

Se consideran las variables `$X_1$`=_Distancia a la linea de marea (en cm)_ y `$X_2=500\cdot P$` siendo `$P$` la profundidad del nido (también en cm).

.fondoAzul[
Construir un intervalo de confianza para la diferencia entre estas variables.
]

`1.` Calculamos las variables y sus medias:

```r
X1=tortugas$distancia*1000
X2=tortugas$profNido*500
c(mean(X1),mean(X2))
```

```
## [1] 23713.6 24059.2
```

---

### Diferencia de medias de variables .blue[no normales] .red[emparejadas] (sólo si `$\small n\ge 60$`)

`2.` La correlación entre estas variables es:

```r
cor(X1,X2)
```

```
## [1] 0.3693282
```

`3.` Cálculo de la diferencia entre los valores medios, así como de su intervalo de confianza:

```r
mean(X1)-mean(X2)
```

```
## [1] -345.6
```

```r
t.test(X1,X2,paired=TRUE)$conf.int
```

```
## [1] -1228.7199   537.5199
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

---

### Diferencia de medias de variables emparejadas

.fondoAzul[

#### .blue[Ejercicios]

1. Compara mediante un intervalo de confianza la diferencia entre LCC y ACC para las tortugas de Ervatao.

2. Compara mediante un intervalo de confianza la diferencia entre LCC y ACC para las tortugas de Ponta Cosme.

3. ¿Es admisible la hipótesis de que el valor de ACC es un 95% del valor de LCC en esta especie de tortugas?

]

---

### Intervalo de confianza para la proporción `$\small\pi$` de éxitos en una `$\small B(n,\pi)$`

Sean `$n$` el tamaño de la muestra y `$N_{E}$` el número de éxitos observados.

* .blue[ __Método de Agresti-Coull__ ] (sólo si `$n>40$`, `$N_E\ge5$`, `$n-N_E\ge5$`)

`$${\small\bbox[#ffff80]{\pi\in\left[\tilde{\pi}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\tilde{\pi}\left(1-\tilde{\pi}\right)}{\tilde{n}}}\right]},\quad \tilde{N}_{E}=N_{E}+z_{\alpha/2}^{2}/2\;\;\tilde{n}=n+\left(z_{\alpha/2}\right)^{2}\;\;\tilde{\pi}=\tilde{N}_{E}/\tilde{n}}$$`

--
.fondoAzul[
Construir, usando este método, un intervalo de confianza para la proporción de nidos afectados por cangrejos.
]
--

1. Comprobamos que se cumplen las condiciones de aplicación

```r
table(tortugas$cangrejos)
```

```
## 
##   0   1 
##  72 106
```

En total hay `$n=178$` nidos, `$N_E$`=106, `$N-N_E=72$`. Por tanto podemos aplicar el método de Agresti-Coull.

---

### Intervalo de confianza para la proporción `$\small\pi$` de éxitos en una `$\small B(n,\pi)$`

La proporción estimada de nidos con cangrejos es:

```r
prop.table(table(tortugas$cangrejos))
```

```
## 
##         0         1 
## 0.4044944 0.5955056
```

`$\hat{\pi}=0.5955$`

El intervalo de Agresti-Coull es:

```r
library(binom)
binom.confint(106,178, conf.level=0.95,method="agresti-coull")
```

```
##          method   x   n      mean     lower     upper
## 1 agresti-coull 106 178 0.5955056 0.5220969 0.6648792
```

---

### Intervalo de confianza para la proporción `$\small\pi$` de éxitos en una `$\small B(n,\pi)$`

* .blue[ __Método de Clopper y Pearson__] (cuando no se puede aplicar el anterior)

`$${\small\bbox[#ffff80]{\pi\in\left[\frac{N_{E}}{{(n-N_{E}+1)F_{1}+N_{E}}},\frac{{(N_{E}+1)F_{2}}}{{(n-N_{E})+(N_{E}+1)F_{2}}}\right]},\quad\begin{array}{c}
F_{1}=F_{2(n-N_{E}+1),2N_{E},\alpha/2}\\
F_{2}=F_{2(N_{E}+1),2(n-N_{E}),\alpha/2}
\end{array}}$$`

.fondoAzul[
Calcular un intervalo de confianza para la proporción de nidos afectados por cangrejos __en cada playa__
]

Calculamos primero el número de nidos con y sin cangrejos por playa:

```r
with(tortugas, addmargins(table(playa, cangrejos)))
```

```
##                 cangrejos
## playa              0   1 Sum
##   Calheta          7  18  25
##   Ervatao         34  30  64
##   Ponta Cosme     22  47  69
##   Porto Ferreiro   9  11  20
##   Sum             72 106 178
```

---

### Intervalo de confianza para la proporción `$\small\pi$` de éxitos en una `$\small B(n,\pi)$`

El método de Clopper y Pearson se activa mediante `method=exact`:

```r
binom.confint(18,25, conf.level=0.95,method="exact")
```

```
##   method  x  n mean     lower     upper
## 1  exact 18 25 0.72 0.5061232 0.8792833
```

```r
binom.confint(30,64, conf.level=0.95,method="agresti-coull")
```

```
##          method  x  n    mean     lower     upper
## 1 agresti-coull 30 64 0.46875 0.3517474 0.5892916
```

```r
binom.confint(47,69, conf.level=0.95,method="agresti-coull")
```

```
##          method  x  n      mean     lower    upper
## 1 agresti-coull 47 69 0.6811594 0.5637571 0.779454
```

```r
binom.confint(11,20, conf.level=0.95,method="exact")
```

```
##   method  x  n mean     lower     upper
## 1  exact 11 20 0.55 0.3152781 0.7694221
```

---

### Intervalo de confianza para la proporción `$\small\pi$` de éxitos en una `$\small B(n,\pi)$`

.fondoAzul[

#### .blue[Ejercicios]

1. Se define el éxito de emergencia como el cociente entre el número de crías emergidas y el número de huevos de la puesta. Calcula un intervalo de confianza para la proporción de nidos con un éxito de emergencia superior al 20%.

2. Calcula un intervalo de confianza al 90% para la proporción de nidos que se encuentran a más de 30 metros de la linea de marea.
 
3. Calcula un intervalo de confianza al 99% para la proporción de nidos de más de 50 cm de profundidad.

4. Calcula un intervalo de confianza para la proporción de nidos con más de 100 huevos.

5. Calcula un intervalo de confianza para la proporción de nidos con más de 120 huevos.

]

---

### Comparación de proporciones de dos variables binomiales `$X_1$` y `$X_2$`

Se han realizado `$n_1$` observaciones de `$X_1$` con `$N_{E_1}$` éxitos y `$n_2$` observaciones de `$X_2$` con `$N_{E_2}$` éxitos. Sean `$\hat{\pi_1}=\frac{N_{E_1}}{n_1}$` y `$\;\hat{\pi_2}=\frac{N_{E_2}}{n_2}$` las proporciones observadas de éxitos. Si `$n_{1}\ge30$`, `$n_{2}\ge30$`:

* .blue[ __Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones__] 
.resalta[
`$$\left[{\left(\pi_{1}-\pi_{2}\right)\pm\left(z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{{\hat{\pi}_{1}\left({1-\hat{\pi}_{1}}\right)}}{n_{1}}+\frac{{\hat{\pi}_{2}\left({1-\hat{\pi}_{2}}\right)}}{n_{2}}}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)\right)}\right]$$`
]

* .blue[ __Intervalo de confianza para el cociente de proporciones__]
.resalta[
`$$\left(\frac{\pi_{1}}{\pi_{2}}\right)\in\left[\left(\frac{\hat{\pi}_{1}}{\hat{\pi}_{2}}\right)\cdot\exp\left(\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\left(1-\hat{\pi}_{1}\right)}{n_{1}\hat{\pi}_{1}}+\frac{\left(1-\hat{\pi}_{2}\right)}{n_{2}\hat{\pi}_{2}}}\right)\right]$$`
]

---

### Comparación de proporciones de dos variables binomiales `$X_1$` y `$X_2$`
.fondoAzul[
Construir un intervalo para la diferencia entre las proporciones de nidos afectados por cangrejos en las playas de Ervatao y Ponta Cosme
]
--
`1.` Número y proporción de nidos con y sin cangrejos en cada playa:

```r
tb <- with(subset(tortugas,playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme"),
     table(playa,cangrejos))
tb
```

```
##              cangrejos
## playa          0  1
##   Ervatao     34 30
##   Ponta Cosme 22 47
```

```r
ptb <- prop.table(tb,1)
ptb
```

```
##              cangrejos
## playa                 0         1
##   Ervatao     0.5312500 0.4687500
##   Ponta Cosme 0.3188406 0.6811594
```

---

### Comparación de proporciones de dos variables binomiales `$X_1$` y `$X_2$`

`2.` Su diferencia es:

```r
diff(ptb)
```

```
##              cangrejos
## playa                  0          1
##   Ponta Cosme -0.2124094  0.2124094
```

`3.` Y el intervalo de confianza para la diferencia:

```r
prop.test(tb)$conf.int
```

```
## [1] 0.03291732 0.39190152
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

---

### Comparación de proporciones de dos variables binomiales `$X_1$` y `$X_2$`

.fondoAzul[
Construir un intervalo al 90% de confianza para el cociente entre las proporciones de nidos afectados por cangrejos en las playas anteriores.
]

`1.` Calculamos totales por playa en la tabla anterior:

```r
addmargins(tb,2)
```

```
##              cangrejos
## playa          0  1 Sum
##   Ervatao     34 30  64
##   Ponta Cosme 22 47  69
```

`2.` El intervalo de confianza para cociente se obtiene mediante:

```r
library(asbio)
ci.prat(30,64,47,69,conf=0.90,method="katz")
```

```
## 
## 90% Confidence interval for ratio of binomial proportions (method=Katz-log) 
##   Estimate        5%       95%
##  0.6881649 0.5319818 0.8902014
```

---

### Comparación de proporciones de dos variables binomiales `$X_1$` y `$X_2$`

.fondoAzul[

#### .blue[Ejercicios]

1. Calcula, para cada una las cuatro playas, la proporción de nidos cuyo éxito de emergencia supera el 20%. Construye un intervalo para comparar la proporción en Ervatao con la proporción en Ponta Cosme.

2. ¿Hay evidencias de que la proporción de nidos que se encuentran a más de 30 metros de la linea de marea es mayor en Ponta Cosme que en Ervatao?.
 
3. Hay evidencias de que la proporción de nidos de más de 50 cm de profundidad es mayor en el segundo periodo de observación que en el tercero? Calcula un intervalo de confianza para la diferencia entre ambas proporciones.

]

---

### Intervalo de confianza para el parámetro `$\lambda$` de una distribución de Poisson.
.resalta[
`$$\lambda \in \left[{\frac{1}{{2n}}\chi_{n_{1},1-\alpha/2}^{2},\frac{1}{{2n}}\chi_{n_{2},\alpha/2}^{2}}\right]$$`
]

siendo: `$n_{1}=2T,\,\,\,\,\,n_{2}=2(T+1),\,\,\,\,\,T=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$`

<br>

.fondoAzul[
Suponiendo que el número de huevos por nido sigue una distribución de Poisson, estima su parámetro `$\lambda$` y calcula un intervalo de confianza para el mismo.
]

---

### Intervalo de confianza para el parámetro `$\lambda$` de una distribución de Poisson.

R tampoco cuenta con ninguna función específica para el cálculo de este intervalo, pero es fácil de implementar:

```r
intDistPoisson <- function(muestra,conf.level=0.95){
  alfa=1-conf.level
  T=sum(muestra,na.rm=TRUE)
  n=length(which(!is.na(muestra)))
  n1=2*T
  n2=2*(T+1)
  intervalo=c(qchisq(alfa/2,n1),qchisq(1-alfa/2,n2))/(2*n)
  attributes(intervalo) <- list(conf.level=conf.level)
  intervalo
}
```

---

### Intervalo de confianza para el parámetro `$\lambda$` de una distribución de Poisson.

Como en una distribución de Poisson de parámetro `$\lambda$` se tiene que `$E[X]=\lambda$`, el estimador de `$\lambda$` por el método de los momentos es simplemente `$\hat{\lambda}=\bar{x}$`.

Por tanto, en nuestro caso, el valor estimado del parámetro de la distribución del número de huevos por nido es simplemente:

```r
mean(tortugas$Huevos)
```

```
## [1] 83.228
```

Calculamos su intervalo de confianza mediante la función que hemos construido antes:

```r
intDistPoisson(tortugas$Huevos)
```

```
## [1] 82.10092 84.36668
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```

---

### Intervalo de confianza para la esperanza `$\mu$` de una distribución exponencial

.resalta[
`$$\mu\in\left[\frac{2n\bar{X}}{\chi_{2n,\alpha/2}^{2}},\frac{2n\bar{X}}{\chi_{2n,1-\alpha/2}^{2}}\right]$$`
]

En R no existe ninguna función para calcular este intervalo. No obstante, es muy fácil de implementar:

```r
intDistExpo <- function(muestra,conf.level=0.95){
  media=mean(muestra,na.rm=TRUE)
  n=length(which(!is.na(muestra)))
  alfa=1-conf.level
  intervalo=2*n*media/qchisq(c(1-alfa/2,alfa/2),2*n)
  attributes(intervalo) <- list(conf.level=conf.level)
  intervalo
}
```

---

### Intervalo de confianza para la esperanza `$\mu$` de una distribución exponencial

En nuestra muestra de tortugas no hay ninguna variable cuya distribución sea exponencial. Por ello, simulamos a continuación 100 valores de una variable exponencial de parámetro `$\mu=10$` y mostramos los 50 primeros valores resultantes:

```r
x=rexp(100,1/10)
x[1:50]
```

```
##  [1]  4.3788474 29.2095174  1.2351388 25.1886679  2.8538529 16.6726073
##  [7]  4.1436835  9.3326899  4.3362465  1.8705817  4.3309157  1.3438427
## [13]  5.9837254 40.4264501  3.5569852  2.2283670 13.8276553  8.6614246
## [19]  7.2104161  1.2678965 21.7669334  0.3983911 12.2596748  2.1979290
## [25] 37.6819227  5.5277873  0.4728925  1.2937034  6.0308080 28.4465475
## [31]  2.9329699  1.8517686  0.6204385  1.0672398  8.4053534  2.4600792
## [37] 13.8599722 17.7843863 11.5689159  7.7059711 19.3221310  2.0510295
## [43]  9.4370670  0.7178946 17.8472992  6.1104391  0.3973279 13.0910297
## [49]  0.3169744  2.1066865
```

---

### Intervalo de confianza para la esperanza `$\mu$` de una distribución exponencial

Dibujamos el histograma de la variable anterior; efectivamente su aspecto es de una exponencial negativa:

```r
ggplot(data.frame(x=x), aes(x)) + geom_histogram(bins=10)
```

![](practica5_Estimacion_Intervalos_con_R_files/figure-html/unnamed-chunk-40-1.png)

---

### Intervalo de confianza para la esperanza `$\mu$` de una distribución exponencial

Calculamos la media observada de los valores de esta variable (recuérdese que en el caso de la exponencial `$E[X]=\mu$`, y por tanto podemos estimar `$\hat{\mu}=\bar{x}$`):

```r
mean(x)
```

```
## [1] 9.367754
```

Por último utilizamos nuestra función para obtener el intervalo de confianza:

```r
intDistExpo(x)
```

```
## [1]  7.772202 11.513390
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
```