1. Se dispone de una urna con 3 bolas blancas y 3 bolas rojas. Se sacan al azar y sin reemplazamiento 3 bolas.

    1. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?

    2. Sea \(X\) el número de bolas rojas entre las 3 que se han sacado. Calcula:
      (b1) \(P(X=0)\)
      (b2) \(P(X=1)\)
      (b3) \(P(X=2)\)
      (b4) \(P(X=3)\)

 

  1. \(\Omega = \left\{ (b_1,b_2,b_3), (r_1,r_2,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,b_2,r_1), (b_1,b_2,r_2), (b_1,b_2, r_3), (b_1,b_3,r_1), (b_1,b_3,r_2), (b_1,b_3,r_3), (b_2,b_3,r_1), (b_2,b_3,r_2), (b_2,b_3,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,r_1,r_2), (b_2,r_1,r_2), (b_3,r_1,r_2), (b_1,r_1,r_3), (b_2,r_1,r_3), (b_3,r_1,r_3), (b_1,r_2,r_3), (b_2,r_2,r_3), (b_3,r_2,r_3)\right\}\)

  2. \(P(X=0)=0.05\),
    \(P(X=1)=0.45\),
    \(P(X=2)=0.45\),
    \(P(X=3)=0.05\).

 

  1. Denotemos las bolas de la urna como \(b_1, b_2, b_3, r_1, r_2\) y \(r_3\). Dado que nuestro experimento consiste en sacar 3 bolas sin reemplazamiento, el conjunto de los posibles resultados elementales (y por tanto el espacio muestral) es el conjunto de todas las posibles ternas con tres bolas distintas:

    \(\Omega = \left\{ (b_1,b_2,b_3), (r_1,r_2,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,b_2,r_1), (b_1,b_2,r_2), (b_1,b_2, r_3), (b_1,b_3,r_1), (b_1,b_3,r_2), (b_1,b_3,r_3), (b_2,b_3,r_1), (b_2,b_3,r_2), (b_2,b_3,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,r_1,r_2), (b_2,r_1,r_2), (b_3,r_1,r_2), (b_1,r_1,r_3), (b_2,r_1,r_3), (b_3,r_1,r_3), (b_1,r_2,r_3), (b_2,r_2,r_3), (b_3,r_2,r_3)\right\}\)

     

    Una nota sobre combinatoria: Dados \(n\) objetos distintos, se denominan combinaciones de orden k a todas las formas de escoger \(k\) de entre estos \(n\) sin repetirlos y sin que importe el orden. El número de combinaciones de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) se obtiene como el número combinatorio:

    \[{n \choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\] En este caso hay 6 bolas; el número de formas en que se pueden extraer 3 de ellas sin repetirlas y sin que importe el orden es: \[{6 \choose 3}=\frac{6!}{\left(6-3\right)!3!}=20\]  

  2. \(P(X=0)\) es la probabilidad de que no salga ninguna bola roja; el único caso en que ocurre ésto es que salgan las tres blancas, \((b_1,b_2,b_3)\). Utilizando la regla de Laplace:

    \[P(X=0)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}\]

    En el espacio muestral hay nueve casos favorables a que salga una bola roja (todas las formas en que pueden salir dos blancas y una roja). Por tanto:

    \[P(X=1)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}\]

    Análogamente, hay también 9 casos favorables a que salgan dos rojas (y una blanca). Por tanto:

    \[P(X=2)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}\]

    Por último, hay un único caso favorable a que salgan tres bolas rojas, y por tanto:

    \[P(X=3)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}\]


  1. Repetir el problema anterior si la urna contiene 2 bolas blancas y 4 rojas.

 

  1. Denotemos ahora las bolas de la urna como \(b_1, b_2, r_1, r_2, r_3\) y \(r_4\). El espacio muestral es el conjunto de todas las posibles ternas con tres bolas distintas, que ahora son:
$\Omega = \left\{ (b_1,b_2,r_1), (b_1,b_2,r_2), (b_1,b_2,r_3), (b_1,b_2,r_4),\\  \;\;\;\;
(b_1,r_1,r_2), (b_1,r_1, r_3), (b_1,r_1,r_4), (b_1,r_2,r_3),(b_1, r_2, r_4), (b_1, r_3, r_4)\\ \;\;\;\;
(b_2,r_1,r_2), (b_2,r_1, r_3), (b_2,r_1,r_4), (b_2,r_2,r_3),(b_2, r_2, r_4), (b_2, r_3, r_4)\\ \;\;\;\;
(r_1,r_2, r_3), (r_1,r_2,r_4), (r_1, r_3, r_4), (r_2,r_3, r_4) \right\}$ 

 

  1. \(P(X=0)\) es la probabilidad de que no salga ninguna bola roja; el único caso en que ocurre ésto es que salgan las tres blancas, \((b_1,b_2,b_3)\). Utilizando la regla de Laplace:
$$P(X=0)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}$$

En el espacio muestral hay nueve casos favorables a que salga una bola roja (todas las formas en que pueden salir dos blancas y una roja). Por tanto:

$$P(X=1)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}$$

Análogamente, hay también 9 casos favorables a que salgan dos rojas (y una blanca). Por tanto:

$$P(X=2)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}$$

Por último, hay un único caso favorable a que salgan tres bolas rojas, y por tanto:

$$P(X=3)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}$$


  1. Se dispone ahora de una urna con 2 bolas blancas y 3 rojas. Se extraen dos bolas con reeemplazamiento.
    1. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?
    2. Sea \(X\) el número de bolas rojas entre las 2 que se han sacado. Calcula:
      (b1) \(P(X=0)\)
      (b2) \(P(X=1)\)
      (b3) \(P(X=2)\)


  1. En una pecera hay 12 peces de colores; 7 son machos y 5 hembras. De los machos, hay 2 que tienen listas y manchas en el lomo; 3 tienen sólo listas y 2 tienen solo manchas. De las hembras, hay una que tiene listas y manchas, dos que tienen sólo listas y dos que tienen sólo manchas. Se extrae un pez al azar de la pecera:
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea macho? ¿y de que sea hembra?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga listas en el lomo?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga manchas?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga listas y manchas?
    5. Si tiene manchas en el lomo ¿cuál es la probabilidad de que sea macho?
    6. Si tiene listas en el lomo, ¿cuál es la probabilidad de que sea hembra?
    7. Si tiene listas y manchas ¿Cuál es la probabilidad de que sea hembra?


  1. De la pecera anterior se sacan dos peces (sin reemplazamiento)
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan listas?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan manchas?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan listas y manchas?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo sexo?
    5. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo?
    6. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean machos y tengan listas?
    7. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean machos o los dos tengan listas?


  1. De la misma pecera anterior se sacan tres peces (sin reemplazamiento)
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que se saquen más machos que hembras?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que se saquen más hembras que machos?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan listas?
    4. Si uno de ellos tiene listas ¿cuál es la probabilidad de que los otros dos también tengan listas?
    5. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno tenga manchas?
    6. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga manchas y listas?

 





© 2016 Angelo Santana, Carmen N. Hernández, Departamento de Matemáticas   ULPGC