Problemas de Probabilidad I

1. Denotemos las bolas de la urna como \(b_1, b_2, b_3, r_1, r_2\) y \(r_3\). Dado que nuestro experimento consiste en sacar 3 bolas sin reemplazamiento, el conjunto de los posibles resultados elementales (y por tanto el espacio muestral) es el conjunto de todas las posibles ternas con tres bolas distintas:

   \(\Omega = \left\{ (b_1,b_2,b_3), (r_1,r_2,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,b_2,r_1), (b_1,b_2,r_2), (b_1,b_2, r_3), (b_1,b_3,r_1), (b_1,b_3,r_2), (b_1,b_3,r_3), (b_2,b_3,r_1), (b_2,b_3,r_2), (b_2,b_3,r_3), \\ \;\;\;\; (b_1,r_1,r_2), (b_2,r_1,r_2), (b_3,r_1,r_2), (b_1,r_1,r_3), (b_2,r_1,r_3), (b_3,r_1,r_3), (b_1,r_2,r_3), (b_2,r_2,r_3), (b_3,r_2,r_3)\right\}\)

    

   Una nota sobre combinatoria: Dados \(n\) objetos distintos, se denominan combinaciones de orden k a todas las formas de escoger \(k\) de entre estos \(n\) sin repetirlos y sin que importe el orden. El número de combinaciones de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) se obtiene como el número combinatorio:

   \[{n \choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\] En este caso hay 6 bolas; el número de formas en que se pueden extraer 3 de ellas sin repetirlas y sin que importe el orden es: \[{6 \choose 3}=\frac{6!}{\left(6-3\right)!3!}=20\]  

2. \(P(X=0)\) es la probabilidad de que no salga ninguna bola roja; el único caso en que ocurre ésto es que salgan las tres blancas, \((b_1,b_2,b_3)\). Utilizando la regla de Laplace:

   \[P(X=0)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}\]

   En el espacio muestral hay nueve casos favorables a que salga una bola roja (todas las formas en que pueden salir dos blancas y una roja). Por tanto:

   \[P(X=1)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}\]

   Análogamente, hay también 9 casos favorables a que salgan dos rojas (y una blanca). Por tanto:

   \[P(X=2)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}\]

   Por último, hay un único caso favorable a que salgan tres bolas rojas, y por tanto:

   \[P(X=3)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}\]

1. Denotemos ahora las bolas de la urna como \(b_1, b_2, r_1, r_2, r_3\) y \(r_4\). El espacio muestral es el conjunto de todas las posibles ternas con tres bolas distintas, que ahora son:

$\Omega = \left\{ (b_1,b_2,r_1), (b_1,b_2,r_2), (b_1,b_2,r_3), (b_1,b_2,r_4),\\  \;\;\;\;
(b_1,r_1,r_2), (b_1,r_1, r_3), (b_1,r_1,r_4), (b_1,r_2,r_3),(b_1, r_2, r_4), (b_1, r_3, r_4)\\ \;\;\;\;
(b_2,r_1,r_2), (b_2,r_1, r_3), (b_2,r_1,r_4), (b_2,r_2,r_3),(b_2, r_2, r_4), (b_2, r_3, r_4)\\ \;\;\;\;
(r_1,r_2, r_3), (r_1,r_2,r_4), (r_1, r_3, r_4), (r_2,r_3, r_4) \right\}$ 

2. \(P(X=0)\) es la probabilidad de que no salga ninguna bola roja; el único caso en que ocurre ésto es que salgan las tres blancas, \((b_1,b_2,b_3)\). Utilizando la regla de Laplace:

$$P(X=0)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}$$

En el espacio muestral hay nueve casos favorables a que salga una bola roja (todas las formas en que pueden salir dos blancas y una roja). Por tanto:

$$P(X=1)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}$$

Análogamente, hay también 9 casos favorables a que salgan dos rojas (y una blanca). Por tanto:

$$P(X=2)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{9}{20}$$

Por último, hay un único caso favorable a que salgan tres bolas rojas, y por tanto:

$$P(X=3)=\frac{\mathrm{Casos\,Favorables}}{\mathrm{Casos\,Posibles}}=\frac{1}{20}$$