Problemas de Variables Aleatorias 0

Una red de pesca en condiciones de uso normales debe tener al menos el 88% de sus nudos en buenas condiciones. Como estrategia de mantenimiento se revisan 30 nudos elegidos al azar en la red; si el número de nudos sueltos entre éstos es mayor que 3 entonces la red se envía a reparar. Calcula la probabilidad de que una red se envíe a reparar innecesariamente.

(NOTA: la red tiene varios miles de nudos, por lo que resulta razonable considerar que el estado de cada nudo de la muestra elegida es independiente del estado del resto de los nudos).

0.7153

Si la red está en condiciones de uso que se consideran normales, en el peor de los casos la variable aleatoria X=”Número de nudos en malas condiciones entre los revisados” sigue una distribucion \(B\left(n=30,p=0.12\right)\).

Por tanto la probabilidad pedida es

\[P\left(X\ge3\right) = 1-P\left(X<3\right)=1-P\left(X\le2\right)=1-\mathsf{pbinom(\mathrm{2,30,0.12\mathsf{)}}} = 1-0.2847=0.7153\]

Para realizar el cálculo hemos aplicado que si \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(P\left(X\le k\right)\)=pbinom(k,n,p). Les destaco que la probabilidad que debemos calcular es \(P\left(X<3\right)\), en esta probabilidad hay un menor estricto por tanto será igual a \(P\left(X\le2\right)\)

Una boya situada en alta mar envía periódicamente señales de sincronización a tierra. Cuando la boya funciona correctamente el \(91.8\)% de estas señales son recibidas en la estación receptora (las que no se reciben puede ser debido a interferencias con otros aparatos, fenómenos atmosféricos, etc.). Si a lo largo de las últimas 24 horas la boya envía 46 señales de sincronización, y la boya funciona correctamente.

¿calcula la probabilidad de que se reciban exactamente 43 de estas señales.?
¿calcula la probabilidad de que se reciban más de 45 de estas señales sabiendo que las condiciones meteorológicas y técnicas actuales permiten asegurar que se recibirán más de 43 señales.
¿Cuál es el número esperado de señales?

0.211324
0.041346
42.228

Hemos de calcular \(P\left(X=43\right)=\mathsf{dbinom(\mathrm{43,46,0.918})}=0.2113239\)

En este caso hemos aplicado que si \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(P\left(X=k\right)=\) dbinom(k,n,p) \(=0.211324\)

En este caso hemos de calcular

\[P\left(X>45/X>43\right)=\frac{P\left(\left\{ X>45\right\} \cap\left\{ X>43\right\} \right)}{P\left(X>43\right)}=\frac{P\left(\left\{ X>45\right\} \right)}{P\left(X>43\right)}=0.041346\]

En este caso hemos aplicado que si \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(P\left(X\leq k\right)=\) pbinom(k,n,p)

Como \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(E\left[X\right]=np\), en nuestro caso sería \(46*0.918=42.228\)

Una red de pesca en condiciones de uso normales debe tener al menos el 95.8% de sus nudos en buenas condiciones. Como estrategia de mantenimiento se revisan 80 nudos elegidos al azar en la red; si el número de nudos sueltos entre éstos es mayor que 77 entonces la red se envía a reparar.

Calcula la probabilidad de que una red se envíe a reparar innecesariamente.
Calcula la probabilidad de el número nudos sueltos sea igual a 75
Calcula la probabilidad de que el número de nudos sueltos sea mayor a 78 sabiendo que ya se tienen 77
Valor esperado de nudos sueltos.
Hallar el valor de \(A\) que verifica \(P\left[X\leq A\right]=0.91\)

(NOTA: la red tiene varios miles de nudos, por lo que resulta razonable considerar que el estado de cada nudo de la muestra elegida es independiente del estado del resto de los nudos).

0.565439
0.125775
0.257497
76.64
79

Si la red está en condiciones de uso que se consideran normales, en el peor de los casos la variable aleatoria X=”Número de nudos en malas condiciones entre los revisados” sigue una distribucion \(B\left(n=80,p=0.958\right)\).

Por tanto la probabilidad pedida es

\[P\left(X\ge77\right) = 1-P\left(X<77\right)=1-P\left(X\le76\right)=1-\mathsf{pbinom(\mathrm{76,80,0.958\mathsf{)}}} = 1-0.4345613=0.565439\]

Para realizar el cálculo hemos aplicado que si \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(P\left(X\le k\right)\)=pbinom(k,n,p). Les destaco que la probabilidad que debemos calcular es \(P\left(X<77\right)\), en esta probabilidad hay un menor estricto por tanto será igual a \(P\left(X\le76\right)\)

\(P\left(X=75\right)=\mathsf{dbinom(\mathrm{75,80,0.958\mathsf{)}}}=0.125775\)
Lo que nos pide el enunciado es una probabilidad condicionada, sabiendo que ya tenemos 77nudos en malas condicinones cual es la probabilidad de que sean más de 78

\[P\left(X>78/X>77\right)\] Como es una probabilidad condicionada utilizamos la siguiente propiedad

\[P\left(A/B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}\]

\[P\left(X>78/X>77\right)= \frac{P\left(X>78 \cap X>77 \right)}{P\left(X>77\right)}=\] En el numerador tenemos la probabilidad de que el número de nudos sea mayor que 78 y a la vez mayor que 77. ¿Qué números son mayores de 78 y a la vez mayores de 77? Pues los números mayores que 78. De esta forma la expresión anterior nos queda de la sigueitne forma

\[=\frac{P\left(\left\{ X>78\right\} \right)}{P\left(X>77\right)}=\] Calaculamos el numerador

\[P\left(X>78\right)=1-P\left(X\leq78\right)=\] Ahora utilizamos la función pbinom que nos da la probabilidad de \(P\left(X\leq k\right)\)

\[P\left(X>78\right)=1-\mathsf{pbinom(\mathrm{78,80,0.958\mathsf{)}}}=0.1455988\] De forma análoga para el denominador

\[P\left(X>77\right)=1-\mathsf{pbinom(\mathrm{77,80,0.958\mathsf{)}}}=0.3417972\]

Vamos ahora a sustituir el numerador y el denominador y el resultado de la expresión anterior sería

\[\frac{0.1455988}{0.3417972}=0.257497\] d. Como \(X\approx B\left(n,p\right)\) entonces \(E\left[X\right]=np\), en nuestro caso sería \(80*0.958=76.64\)

Nos está pidiendo el percentil para ello utilizamos la función de R qbinom(q,n,p)

\[A=\mathsf{qbinom(\mathrm{0.91,80,0.958\mathsf{)}}}=79\]