Ejercicios con vectores y matrices.

En estos ejercicios aprenderemos a utilizar nuevas funciones. Cuando encuentres una función que no conozcas, consulta la ayuda de R.

Crear 3 vectores \(u\), \(v\) y \(w\) cada uno con cuatro números generados aleatoriamente utilizando la función runif(). Los números deben estar redondeados a 2 dígitos y comprendidos entre 2 y 25.
Utilizando la función cbind() pega los tres vectores anteriores en una matriz de dimensión \(4 \times 3\). Llama \(A\) a esta matriz.
Utilizando la función rbind() pega los tres vectores en una matriz \(B\) de dimensión \(3 \times 4\)
Calcula las matrices \(M\), obtenida multiplicando \(A\) por \(B\), y \(P\) obtenida multiplicando \(B\) por \(A\).
Calcula las inversas de las matrices \(M\) y \(P\).
Calcula el cuadrado de la matriz \(M\)
Calcula \(M^3\)
Averigua de qué forma se puede calcular la potencia \(n\)-sima de una matriz. Calcula \(M^6\)
Mediante las funciones rownames() y colnames() ponle a las filas de M los nombres “F1”, “F2”, “F3”,“F4”, y a las columnas los nombres “C1”, “C2”, “C3”, “C4”.
Selecciona la tercera y cuarta columnas de la matriz M utilizando sus nombres.
Selecciona la primera y segunda filas de la matriz M utilizando sus nombres.
Aritmética compleja. R opera con aritmética compleja cuando los argumentos son números complejos. Calcula la raiz cuadrada de -1 de las siguientes formas y observa qué pasa: sqrt(-1), sqrt(-1+0i), sqrt(as.complex(-1))
Calcula la suma de los números complejos \(3-5i\) y \(6+3i\). Al resultado réstale \(5-i\).
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[3a+4b-5c+d =10 \\ 2a+2b+2c-d =5 \\ a-b+5c-5d =7 \\ 5a+d =4\]

(Sugerencia: crea una matriz \(A\) con los coeficientes y un vector \(b\) con los términos independientes; de esta forma el sistema de ecuaciones puede expresarse como \(Ax=b\) y por tanto su solución es \(x=A^{-1}b\))
Utiliza la función runif() para generar 50 números aleatorios entre 10 y 50. Guarda dichos números en el vector \(V\). Crea un nuevo vector \(W\) que contenga, en este orden, la media de los valores de \(V\), su desviación típica, el valor mediano, el valor mínimo y el valor máximo. Utiliza para ello las funciones mean(), sd(), median(), min() y max(). Mediante la función names() ponle además los siguientes nombres a los términos de \(W\): “media”, “sd”, “mediana”, “min” y “max”.