Sean \(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\) variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro \(\lambda\). La función de densidad de cada \(X_{j}\) es, pues, de la forma: \[ f_{j}\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x},\,\,x\ge0 \] y su función característica: \[ \varphi_{X_{j}}\left(t\right)=\frac{\lambda}{\lambda-it} \]
Si ahora consideramos la variable \(X=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n}\), esto es, la suma de las variables exponenciales anteriores, la función característica de \(X\) es el producto de las funciones características de las \(X_{j}\) (por ser estas variables independientes): \[ \varphi_{X}\left(t\right)=\prod_{j=1}^{n}\varphi_{X_{j}}\left(t\right)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n} \]
Nos planteamos entonces el problema de determinar la función de densidad de \(X\). Para ello utilizamos el teorema de inversión de la función característica, que indica que dicha función de densidad puede calcularse mediante:
\[ f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}\,dt \] Podemos resolver esta integral por partes:
\[ u=e^{-itx} \] \[ dv=\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n} \] \[ v=\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1} \] \[ du=-ixe^{-itx} \]
Aquí hemos necesitado resolver: \[ \int\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}dt \] Para ello hacemos el cambio de variable \(s=\lambda-it\Rightarrow ds=-i\,dt\Rightarrow dt=-\frac{1}{i}ds\), de donde resulta:
\[ \int\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}dt=-\frac{\lambda^{n}}{i}\int s^{-n}ds=-\frac{\lambda^{n}}{i}\frac{s^{-n+1}}{-n+1}=\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{s}\right)^{n-1}=\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1} \] Volviendo a la integral original tenemos que: \[ f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}\,dt= \] \[ =\frac{1}{2\pi}\left\{ \left[e^{-itx}\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}\right]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}ixe^{-itx}dt\right\} = \] \[ =\frac{1}{2\pi}\left\{ \left[e^{-itx}\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}\right]_{-\infty}^{\infty}+\frac{\lambda x}{\left(n-1\right)}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}e^{-itx}dt\right\} \]
Ahora bien:
\[ \left[e^{-itx}\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}\right]_{-\infty}^{\infty}=\left[e^{-itx}\frac{\lambda}{i\left(n-1\right)}\left(\frac{\lambda i}{\lambda i+t}\right)^{n-1}\right]_{-\infty}^{\infty}=0 \] ya que: \[ \left|e^{-itx}\right|\le1\,\,\,\,\forall t \]
y:
\[ \left(\frac{\lambda i}{\lambda i+t}\right)^{n-1}\underset{t\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0,\,\,\,n>1 \] Por tanto:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}=\frac{\lambda x}{\left(n-1\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}dt \] Si repetimos el proceso obtenemos: \[ f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n}=\frac{1}{2\pi}\frac{\lambda x}{\left(n-1\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-1}dt= \] \[ = \frac{1}{2\pi}\frac{\lambda x}{\left(n-1\right)}\frac{\lambda x}{\left(n-2\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{n-2}dt= \] \[ \dots=\frac{1}{2\pi}\frac{\lambda x}{\left(n-1\right)}\frac{\lambda x}{\left(n-2\right)}\dots\frac{\lambda x}{1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^{1}dt=\frac{\lambda^{n-1}x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)dt \]
Ahora bien, \(\varphi\left(t\right)=\frac{\lambda}{\lambda-it}\) es la función característica de la distribución exponencial; por tanto, de acuerdo con el teorema de inversión de la función característica, \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)dt\) es la función de densidad de la distribución exponencial, esto es, \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)dt=\lambda e^{-\lambda x}\). Así pues, sustituyendo en la expresión anterior obtenemos la función de densidad de la suma de \(n\) variables exponenciales es: \[ f\left(x\right)=\frac{\lambda^{n-1}x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\lambda e^{-\lambda x}=\frac{\lambda^{n}x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}e^{-\lambda x} \]
A la distribución de probabilidad de la suma de \(n\) variables exponenciales de parámetro \(\lambda\) independientes se la conoce como distribución de Erlang de parámetros \(n\) y \(\lambda\).