Estadística y Procesos Estocásticos Tema 2: Variables Aleatorias

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# Estadística y Procesos Estocásticos <br> Tema 2: Variables Aleatorias
### <br><br><br><br><br><br><br>Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

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# 7. Distribuciones de probabilidad continuas especiales

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# Distribución exponencial

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## Distribución exponencial

* Esta distribución aparece asociada a fenómenos en los que la variable que se considera es la distancia entre eventos puntuales que se presentan en un medio continuo de acuerdo con una distribución de Poisson.

* Supongamos que `$Y_t \approx P(\lambda t)$` cuenta el número de paquetes que llegan a un conmutador durante un intervalo de tiempo de duración `$t$`.

* Sea `$X$` el tiempo que falta hasta que llegue el siguiente paquete.

* La probabilidad de que hasta el próximo paquete pase un tiempo mayor que `$\large{t}$` es igual a la probabilidad de que en un intervalo de longitud `$\large{t}$` no llegue ningún paquete:

`$$P\left(X\le t\right)=1-P\left(X>t\right)=1-P\left(Y_{t}=0\right)=1-e^{-\lambda t}\frac{\lambda^{0}}{0!}=1-e^{-\lambda t}$$`

* Si `$\lambda$` es el número medio de paquetes que llegan por unidad de tiempo, `$\mu=\frac{1}{\lambda}$` es el tiempo medio que transcurre entre paquete y paquete.

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## Distribución exponencial

La variable aleatoria `$X$` se dice que sigue una .red[ __distribución exponencial__] de parámetro `$\mu$`, y se denota como `$X \approx exp(\mu)$`, si su función de distribución es de la forma:

.resalta[

`$$\Large{F(t)=1-e^{-\frac{1}{\mu}t}}$$`

]

Su función de densidad es entonces:

.resalta[

`$$\Large{f(t)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{1}{\mu}t}}$$`

]

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### .blue[Representación gráfica de la función de densidad de la distribución exponencial para varios valores de] `$\Large{\mu}$`

<img src="tema2-4_Distribuciones_Especiales_Continuas_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
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### .blue[Ejemplo:]

El tiempo entre llegadas de paquetes a un conmutador sigue una distribución exponencial de parámetro `$\mu = 6\; ms$`

.blue[(1).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete tarde menos de 4 ms. en llegar?

`$$X\approx exp(6)\Rightarrow P\left(X\le4\right)=F\left(4\right)=1-e^{-\frac{4}{6}} = 0.4866$$`

.blue[(2).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete tarde más de 6 ms. en llegar?

`$$P\left(X>6\right)=1-F\left(6\right)=e^{-\frac{6}{6}} = 0.3679$$`

.blue[(3).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete tarde en llegar entre 2 y 5 ms?

`$$P\left(2\le X\le5\right)=\int_{2}^{5}\frac{1}{6}e^{-\frac{1}{6}x}dx=\left[-e^{-\frac{1}{6}x}\right]_{2}^{5}=e^{-\frac{2}{6}}-e^{-\frac{5}{6}}=0.2819$$`

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### .blue[Esperanza de la distribución exponencial]

.resalta[

`$$\Large{E[X] = \mu}$$`

]

<br>
--

.blue[ _Demostración:_]

`$$E\left[X\right]=\int_{0}^{\infty}xf\left(x\right)dx=\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{\mu}e^{-\frac{1}{\mu}x}dx=$$`

Haciendo la integral por partes:

`$$=-xe^{-\frac{1}{\mu}x}+\int e^{-\frac{1}{\mu}x}dx=\left[-xe^{-\frac{1}{\mu}x}-\mu e^{-\frac{1}{\mu}x}\right]_{0}^{\infty}=\mu$$`

### .blue[Varianza]

.resalta[

`$$\Large{Var(X)=\mu^2}$$`

]
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### .blue[ La _falta de memoria_ de la distribución exponencial]

.center[
<video src="http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/video/doriSinMemoria.mp4" width="480" height="270" controls preload></video>
]

Si `$X\approx exp(\mu)$`:

.resalta[

`$$P(X>t+s | X>s) = P(X>t)\;\; \forall s$$`

]

Es decir: _"Habiendo transcurrido ya un tiempo .red[s] desde la última llegada, la probabilidad de que aún falte un tiempo .red[t] hasta la siguiente llegada es independiente del valor de .red[s]"_. Es como si `$X$` no recordara el valor de _s_.
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### .blue[ La _falta de memoria_ de la distribución exponencial]
<br>

.resalta[

`$$P(X>t+s | X>s) = P(X>t)\;\; \forall s$$`

]

<br>

.blue[ _Demostración:_ ]

`$$\Pr\left(X>s+t\mid X>s\right)=\frac{\Pr\left(\left\{ X>s\right\} \cap\left\{ X>s+t\right\} \right)}{\Pr\left(X>s\right)}=\frac{\Pr\left(X>s+t\right)}{\Pr\left(X>s\right)}=$$`

`$$\Large{\frac{e^{-\frac{\left(s+t\right)}{\mu}}}{e^{-\frac{s}{\mu}}}=e^{-\frac{t}{\mu}}} = \large{\Pr\left(X>t\right)}$$`

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background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/darkGaussianBlur.jpg)
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# Distribución de Weibull

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## Distribución de Weibull

.pull-left[

![](imagenes/weibull.jpg)

[Waloddi Weibull (1887-1979)](http://www.barringer1.com/weibull_bio.htm)

]

.pull-right[
La distribución de Weibull constituye una extensión de la distribución exponencial que evita la falta de memoria de esta última. Se utiliza ampliamente en teletráfico y fiabilidad. Su función de distribución es: <br>
<div class=resalta>$$\Large{F\left(t\right)=1-e^{-\left(t/\mu\right)^{\kappa}}, \;\;\;t\ge0}$$</div><br> Los parámetros `$\mu$` y `$\kappa$` reciben el nombre de parámetros de .red[ __escala__] y .red[ __forma__], respectivamente.
]

Cuando `$\kappa=1$` la distribución de Weibull coincide con la exponencial de parámetro `$\mu$`

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## Distribución de Weibull

La función de densidad de la distribución de Weibull es:

.resalta[

`$$\Large{f\left(t\right)=\frac{\kappa}{\mu}\left(\frac{t}{\mu}\right)^{\kappa-1}e^{-\left(t/\mu\right)^{k}},\,\,\,t\ge0}$$`

]

---

### .blue[Representación gráfica de la función de densidad de la distribución de Weibull para] `$\huge{\kappa=2}$` .blue[y varios valores de] `$\huge{\mu}$`

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### .blue[Representación gráfica de la función de densidad de la distribución de Weibull para] `$\huge{\mu=20}$` .blue[y varios valores de] `$\huge{\kappa}$`

---

## Distribución de Weibull

### .blue[Esperanza y Varianza]

.resalta[

`$$\Large{E[X]= \mu\Gamma\left(1+\frac{1}{\kappa}\right)}$$`
]

.resalta[

`$$\Large{Var(X)= \mu^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{\kappa}\right)-\Gamma\left(1+\frac{1}{\kappa}\right)^2\right]}$$`
]

siendo `$\Gamma$` la .red[función gamma de Euler]: `$\Gamma\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$`.

Si `$n$` es un número entero `$\Gamma(n)=(n-1)!$`; si `$x$` es real, `$\Gamma(x)$` debe aproximarse numéricamente. En octave se calcula mediante .red[gamma(x)]

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### .blue[Ejemplo:]

Sea `$X$`= _tiempo entre llegadas de paquetes a un conmutador_ `$\approx W(\kappa=2,\mu=20)$`

.blue[(1).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete llegue en menos de 16 ms?

`$$P\left(X\le16\right)=F\left(16\right)=1-e^{-\left(16/20\right)^{2}}=0.473$$`

.blue[(2).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete tarde más de 10 ms.?

`$$P\left(X>10\right)=1-P\left(X\le10\right)=1-F\left(10\right)=e^{-\left(10/20\right)^{2}}=0.7788$$`

.blue[(3).] ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo paquete tarde en llegar entre 15 y 30 ms?

`$$P\left(15\le X\le30\right)=\int_{15}^{30}f(x)dx=F(30)-F(15)=0.4644$$`
--

.blue[(4).] ¿Cuál es el tiempo medio que transcurre entre la llegada de dos paquetes consecutivos?

`$$E[X]= 20\Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)=20\cdot 0.8862=17.7245\; ms.$$`

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background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/darkGaussianBlur.jpg)
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# Distribución uniforme

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## Distribución uniforme `$\;\;\Large{U[a,b]}$`

Esta es la distribución de la variable:

`$\Large{X}$` = _"Resultado de elegir un valor al azar en el intervalo_ `$\large{[a,b]}$`"

cuando la probabilidad se reparte de manera homogénea (uniforme) sobre el intervalo, esto es, no hay más probabilidad de observar valores en una zona que en otra del mismo.

.pull-left[

Su función de densidad es de la forma:
.resalta[

`$$\Large{f(x)=\frac{1}{b-a}\;\;\; a\le x\le b}$$`

]
]

.pull.right[

]

Ya hemos visto esta distribución en el ejemplo del lugar (aleatorio) donde se avería un coche en una carretera larga y recta.

---
### Distribución uniforme: Función de distribución

.resalta[
`$$\large{F(x)=P\left(X\le x\right)=\frac{x-a}{b-a}\,\,\,\,x\in\left(a,b\right)}$$`
]

### Distribución uniforme: Esperanza y varianza

Es fácil comprobar que:

.resalta[

`$$\large{E[X]=\frac{a+b}{2}}$$`
<br>
`$$\large{Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}}$$`

]

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background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/darkGaussianBlur.jpg)
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# Distribución Normal o de Gauss

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## Distribución Normal o de Gauss

.pull-left[

![](imagenes/Gauss.jpg)

[Carl Friedrich Gauss (1777-1855)](https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)

]

.pull-right[
La distribución normal aparece asociada a variables aleatorias que se comportan de tal manera que lo más probable es observar valores en torno a la media; y a medida que los valores se alejan de la media, bien sea hacia arriba o hacia abajo, van siendo progresivamente más difíciles de observar:

]

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## Distribución Normal o de Gauss

Múltiples ejemplos de variables con esta distribución:

* Errores de Medida.

* Magnitud del ruido superpuesto a una señal.

* Temperatura de un microcircuito en condiciones normales de operación.

* Variables Biológicas: peso, talla, nivel de glucosa en sangre ...

--
* Consumo de energía diario en una ciudad o en una empresa.

* Kilometraje mensual recorrido por un vehículo arbitrario.

* ...

¿Por qué es tan ubicua la distribución normal?

.center[Acción del .red[teorema central del límite]]

---
## Teorema central del límite

.center[
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VQepRP-f6GA" frameborder="0" allow="encrypted-media" allowfullscreen></iframe>
]

De forma intuitiva, el teorema central del límite afirma que dado un conjunto de variables aleatorias independientes, con cualquier distribución de probabilidad y suponiendo que su varianza sea finita, la suma de un número elevado de estas variables tiende a distribuirse de manera similar a una variable normal.

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## Distribución Normal o de Gauss

Una variable aleatoria `$X$` sigue una distribución Normal de parámetros `$\mu$` (esperanza) y `$\sigma$` (desviación típica) y se denota como `$X \approx N(\mu,\sigma)$`,  si su función de densidad de probabilidad es de la forma:

.resalta[

`$$\Large{f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}},\,\,x\in\mathbb{R}}$$`
]

--
<br>

Puede comprobarse que:

`$$E\left[X\right]=\int_{-\infty}^{\infty}xf\left(x\right)dx=\mu$$`

`$$Var\left[X\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu\right)^{2}f\left(x\right)dx=\sigma$$`

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### .blue[Representación gráfica de la función de densidad de la distribución normal para varios valores de] `$\Large{\mu}$` .blue[y] `$\Large{\sigma}$`

<img src="tema2-4_Distribuciones_Especiales_Continuas_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
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## Distribución normal: cálculo de probabilidades.

* La función de densidad de la distribución normal no puede integrarse de manera analítica, sino numérica. De ahí que para calcular probabilidades de la forma `$P(X\le x)$` o `$P(a\le X \le b)$` haya que recurrir a calculadora, ordenador o tablas de referencia.

* El siguiente resultado permite convertir una variable `$N(\mu,\sigma)$` en una `$N(0,1)$`; de esta forma las probabilidades de la primera pueden calcularse a partir de las probabilidades de la segunda:

.resalta[

__Teorema (de la tipificación):__ _Si una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad `$N\left({\mu,\sigma}\right)$`, entonces, `$Z=\frac{\left(X-\mu\right)}{\sigma}$` tiene distribución de probabilidad `$N\left({0,1}\right)$` (normal estándar o tipificada). Por tanto:_

`$$\Large{P\left(X\le x\right)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=P\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}$$`

]

---

![](imagenes/normal.svg)

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## Distribución normal: uso de la tabla de la _N(0,1)_

* Esta tabla nos permite calcular probabilidades de la forma `$P\left(Z>x\right)$` donde `$Z$` es una variable aleatoria con distribución `$N\left(0,1\right)$` y `$x$` es un número de la forma `$a.bc = a.b+0.0c$`. El valor de dicha probabilidad se encuentra en el cruce de la fila `$a.b$` con la columna `$0.0c$`.

* .blue[Ejemplo:] para calcular `$P\left(Z>1.23\right)$` se busca en el cruce de la fila `$1.2$` con la columa `$0.03$`, donde se encuentra el valor `$0.10935$`.

* En el caso de que se desee calcular la probabilidad de que Z sea mayor que un número negativo, se puede proceder aprovechando la circunstancia de que la función de densidad de Z es simétrica y por tanto: `$$P\left(Z>-x\right)=P\left(Z<x\right)= 1-P(Z>x)$$`

* Para calcular la probabilidad de un intervalo:

`$$P(a\le Z \le b)=P(Z>a)-P(Z>b)$$`

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## Distribución normal: uso de la tabla de la _N(0,1)_

* Sea `$X\approx N(\mu=8,\sigma=3)$`:

.pull-left[

`$$P\left(X\le10\right)=P\left(Z\le\frac{10-8}{3}\right)=$$`
`$$=P\left(Z\le0.66\right)=1-P\left(Z>0.66\right)$$`
`$$=1-0.25463=0.74537$$`

]

.pull-right[
![](tema2-4_Distribuciones_Especiales_Continuas_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png)
]

---

## Distribución normal: uso de la tabla de la _N(0,1)_

* Sea `$X\approx N(\mu=8,\sigma=3)$`:

.pull-left[

`$$P\left(X\le4\right)=P\left(Z\le\frac{4-8}{3}\right)=$$`
`$$=P\left(Z\le-1.33\right)=P\left(Z>1.33\right)=0.09176$$`
]

.pull-right[
![](tema2-4_Distribuciones_Especiales_Continuas_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png)
]