class: center, middle, inverse, title-slide # Estadística y Procesos Estocásticos <br> Tema 2: Variables Aleatorias ### <br><br><br><br><br><br><br>Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación --- background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # 8. Función Característica --- # Función Característica Es una herramienta que permite simplificar en muchos problemas el manejo de las distribuciones de probabilidad. Se define como: .resalta[ `$$\Large{\varphi\left(u\right)=E\left[e^{iuX}\right])}$$` ] -- Por tanto, si `\(X\)` es discreta con función de probabilidad `\(P\)`: `$$\varphi\left(u\right)=\sum_{k}e^{iux}P\left(X=x\right)$$` -- y si `\(X\)` es continua con función de densidad `\(f\left(x\right)\)`: `$$\varphi\left(u\right)=\int e^{iux}f\left(x\right)dx$$` --- <br><br> .red[_Teorema:_] Sea `\(X\)` una variable aleatoria tal que `\(E\left[X^{n}\right]<\infty\)` para algún valor `\(n\geq 1\)`. Entonces existe la `\(k\)`-ésima derivada de `\(\varphi\left(u\right)\)` para todo `\(k\leq n\)`, y además: `$$\large{\varphi^{\left(k\right)}\left(0\right)=i^{k}E\left[X^{k}\right]}$$` De donde: .resalta[ `$$\Large{E\left[X^{k}\right]=\frac{1}{i^{k}}\varphi^{\left(k\right)}\left(0\right)}$$` ] --- ### .blue[Función característica: Distribución de Bernoulli] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, esto es: `$$X=\begin{cases} 0 & 1-p\\ 1 & p \end{cases}$$` * Función característica: -- `$$\varphi\left(u\right)=E\left[e^{iuX}\right]=\sum_{x=0}^{1}e^{iux}P\left(X=x\right)=\\ =e^{iu\cdot0}\left(1-p\right)+e^{iu\cdot1}p=\left(1-p\right)+p e^{iu}$$` -- * Esperanza: -- `$$E\left[X\right]=\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)=\frac{1}{i}\cdot p\cdot i\cdot e^{i\cdot0}=p$$` -- * Varianza: -- `$$E\left[X^{2}\right]=\frac{1}{i^{2}}\varphi''\left(0\right)=\frac{1}{i^{2}}\cdot p\cdot i^{2}\cdot e^{i\cdot0}=p$$` `$$Var\left(X\right)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}=p-p^{2}=p\left(1-p\right)$$` --- ### .blue[Función característica: Distribución binomial] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con distribución binomial `\(b\left(n,p\right)\)`. Entonces: `$$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k},\,\,\,k=0,1,\dots,n$$` * Función característica: -- `$$\varphi\left(u\right) =\sum_{k=0}^{n}e^{iuk}P\left(X=k\right)= \sum_{k=0}^{n}e^{iuk}\binom{n}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}=\\ =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(p\cdot e^{iu}\right)^{k} \left(1-p\right)^{n-k}=\left(p\cdot e^{iu}+1-p\right)^{n}$$` -- * Esperanza: `$$\varphi'\left(u\right)=n\left(p\cdot e^{iu}+1-p\right)^{n-1}p\cdot i\cdot e^{iu}\Rightarrow\varphi'\left(0\right)=n\cdot p\cdot i\Rightarrow E\left[X\right]=\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)=np$$` -- * Varianza: `$$Var\left(X\right)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}= \frac{1}{i^{2}}\varphi''\left(0\right)-\left(\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)\right)^{2}=\dots=np\left(1-p\right)$$` --- ### .blue[Función característica: Distribución de Poisson] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con distribución de Poisson, esto es: `$$\Pr\left(X=x\right)=e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}\;:\;x=0,1,2,\ldots$$` * Función característica: -- `$$\varphi\left(u\right)=E\left[e^{iuX}\right]=\sum_{x=0}^{\infty}e^{iux}P\left(X=x\right)=\sum_{x=0}^{\infty}e^{iux}e^{-\mu}\frac{\mu^{x}}{x!}=\\=e^{-\mu}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\left(\mu e^{iu}\right)^{x}}{x!}=e^{-\mu}e^{\mu e^{iu}}=e^{\mu\left(e^{i u}-1\right)}$$` -- * Esperanza: `$$\varphi'\left(u\right)=i\mu e^{iu}e^{\mu\left(e^{iu}-1\right)} \Rightarrow \varphi'\left(0\right)=i\mu\Rightarrow E\left[X\right]=\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)=\mu$$` -- * Varianza: `$$Var\left(X\right)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}= \frac{1}{i^{2}}\varphi''\left(0\right)-\left(\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)\right)^{2}=\dots=\mu$$` --- ### .blue[Función característica: Distribución exponencial] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con distribución exponencial, esto es: `$$f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x},\,\,\,x\geq0$$` * Función característica: -- `$$\varphi\left(u\right)=\int_{0}^{\infty}e^{iux}f\left(x\right)dx=\int_{0}^{\infty}e^{iux}\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda\int_{0}^{\infty}e^{-\left(\lambda-iu\right)x}dx=\\=\frac{\lambda}{\lambda-iu}\left[-e^{-\left(\lambda-iu\right)x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{\lambda}{\lambda-iu}$$` -- * Esperanza: `$$\varphi'\left(u\right)=\frac{\lambda i}{\left(\lambda-iu\right)^{2}}\Rightarrow\varphi'\left(0\right)=\frac{i}{\lambda}\Rightarrow E\left[X\right]=\frac{\varphi'\left(0\right)}{i}=\frac{1}{\lambda}$$` -- * Varianza: `$$Var\left(X\right)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}= \frac{1}{i^{2}}\varphi''\left(0\right)-\left(\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)\right)^{2}=\dots=\frac{1}{\lambda}$$` --- ### .blue[Función característica: Distribución normal] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con distribución normal `\(N(\mu,\sigma)\)`, esto es: `$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}},\,\,x\in\mathbb{R}$$` * Función característica: -- `$$\large{\varphi\left(u\right)=e^{i\mu u-\frac{1}{2}\sigma^{2}u^{2}}}$$` .small[(véase [aquí](Demostraciones.html#funCarNormal) una demostración)] -- * Esperanza: `$$\varphi'\left(u\right)=\left(i\mu-\sigma^{2}u\right)e^{i\mu u-\frac{1}{2}\sigma^{2}u^{2}}\Rightarrow\varphi'\left(0\right)=i\mu\Rightarrow E[X]=\frac{1}{i}\varphi'(0)=\mu$$` -- * Varianza: `$$Var\left(X\right)=E\left[X^{2}\right]-\left(E\left[X\right]\right)^{2}= \frac{1}{i^{2}}\varphi''\left(0\right)-\left(\frac{1}{i}\varphi'\left(0\right)\right)^{2}=\dots=\sigma^2$$` --- ## Interpretación de la función característica Supongamos que `\(X\)` es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro `\(\mu=2\)`. Su función de probabilidad es de la forma: .pull-left[ `$$\Pr\left(X=x\right)=e^{-2}\frac{2^{x}}{x!}\;:\;x=0,1,2,\ldots$$` <!-- --> ] .pull-right[ <!-- --> ] --- Podemos expresar la función característica como: `$$\varphi\left(u\right) =E\left[e^{iuX}\right]=\sum_{x=0}^{\infty}e^{iux}P\left(X=x\right)=\sum_{x=0}^{\infty}\left(\cos\left(ux\right)+i\,\textrm{sen}\left(ux\right)\right)P\left(X=x\right)=\\ =\sum_{x=0}^{\infty}\cos\left(ux\right)P\left(X=x\right)+i\sum_{x=0}^{\infty}\textrm{sen}\left(ux\right)P\left(X=x\right)=$$` <br> -- Por tanto, llamando `\(p_x=P\left(X=x\right)\)` -- * La parte real es una suma ponderada de términos periódicos `\(\cos\left(ux\right)\)` con `\(x=0, 1, 2, \dots\)`: `$$\cos\left(0\right)p_{0}+\cos\left(u\right)p_{1}+\cos\left(2u\right)p_{2}+\cos\left(3u\right)p_{3}+\dots$$` <br> -- * Análogamente, la parte imaginaria es también una suma ponderada de términos periódicos `\(\textrm{sen}\left(ux\right)\)`, `\(x=0, 1, 2, \dots\)`: `$$\textrm{sen}\left(0\right)p_{0}+\textrm{sen}\left(u\right)p_{1}+\textrm{sen}\left(2u\right)p_{2}+\textrm{sen}\left(3u\right)p_{3}+\dots$$` --- Gráficamente, cuando `\(u\in\left[0,2\pi\right]\)`:  --- Y si representamos la parte imaginaria frente a la parte real:  --- <br> * Podemos decir por tanto que la función característica contiene __la misma información__ que la función de probabilidad; lo que hace la función característica es .blue[_codificar_] las probabilidades de los distintos valores de la variable X en distintas frecuencias, haciendo coincidir la amplitud de cada frecuencia con la probabilidad del valor correspondiente. <br> -- * La interpretación geométrica en el caso de otras variables aleatorias discretas es análoga al caso de la variable de Poisson. <br> -- * La interpretación en el caso de las variables continuas es similar, salvo que lo que se codifica en este caso son los valores de la función de densidad de probabilidad. <br> -- * Así pues, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria puede caracterizarse de manera equivalente mediante su función de distribución o mediante su función característica. --- .red[Teorema (de inversión de la función característica):] Sea `\(X\)` una variable aleatoria con densidad de probabilidad `\(f\left(t\right)\)` y función característica `\(\varphi\left(u\right)\)`. Se tiene entonces: .resalta[ `$$f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iux}\varphi\left(u\right)du$$` ] En el caso discreto: .resalta[ $$ P\left(X = k\right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-iuk} \varphi(u)\, dt, \quad k \in \mathbb Z$$ ] ??? __Nota:__ la función característica de una variable discreta es periódica, ya que es una suma discreta de armónicos. Por tanto, dependiendo de que la función característica sea periódica o no, usaremos una de las dos fórmulas de inversión anteriores. `$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-ikt} \varphi(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-ikt} \sum_{n = -\infty}^\infty e^{int}p(n) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = -\infty}^\infty e^{it(n-k)} p(n) \, dt \\ = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = -\infty}^\infty \int_{-\pi}^\pi e^{it(n-k)} p(n) \, dt = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = -\infty}^\infty p(n) \int_{-\pi}^{\pi} e^{it(n-k)} \, dt \\ = \frac{1}{2\pi} \left(\sum_{n = -\infty}^{k-1} p(n) \int_{-\pi}^{\pi} e^{it(n-k)} \, dt + \sum_{n = k+1}^{\infty} p(n) \int_{-\pi}^{\pi} e^{it(n-k)} \, dt + 2\pi p(k)\right)=p(k)$$` donde se ha usado que: `$$\int_{-\pi}^\pi e^{imt}\,dt = \frac{1}{im}\left(e^{im\pi} - e^{-im\pi}\right) = \frac{1}{im}\left((-1)^m - (-1)^{-m}\right) = 0$$` para cualquier entero `\(m\neq0\)`