class: center, middle, inverse, title-slide # Estadística y Procesos Estocásticos <br> Tema 2: Variables Aleatorias ### <br><br><br><br><br><br><br>Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación --- background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # 1. Variables Aleatorias --- ## Variables Aleatorias Llamamos .red[ __variable aleatoria__] a cualquier magnitud `\(X\)` cuyos valores son números reales que dependen del azar. -- ### .blue[Ejemplos] * La __duración__ de una lámpara. -- * El __número de mensajes__ de WhatsApp que recibe una persona en un día arbitrario. -- * El __tiempo entre llegadas__ de dos paquetes de datos consecutivos a un router. -- * La __suma de valores__ obtenidos en dos tiradas sucesivas de un dado. -- * El __valor en un instante `\(t\)`__ de una señal `\(X\left(t\right)=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)\)` cuya _fase_ `\(\varphi\)` es aleatoria. --- ## Variables Aleatorias Formalmente, dado un espacio de probabilidad `\(\left(\Omega,\mathfrak{{F},}P\right)\)`, una __variable aleatoria__ `\(X\)` es cualquier función de la forma: `$$\LARGE{\begin{array}{cccl} X: & \Omega & \longrightarrow & \mathbb{{R}} \\ & \omega\in\Omega & \hookrightarrow & X\left(\omega\right)=r\in\mathbb{{R}} \end{array}}$$` esto es, una función que a los elementos del azar les asigna números reales. -- ###.blue[Ejemplo] Si observamos el resultado del lanzamiento de un dado tenemos que: `\(\Omega=\left\{\right.\)` , , , , ,  `\(\left.\right\}\)` .center[ `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=1\)` &emsp; `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=2\)` &emsp; `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=3\)` `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=4\)` &emsp; `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=5\)` &emsp; `\(X\left(\right.\)`  `\(\left.\right)=6\)` ] --- O, de una manera más gráfica: .center[ <!-- --> ] --- ### .blue[Ejemplo:] `\(X\)` = _Suma de las puntuaciones obtenidas al tirar un dado dos veces sucesivas._ <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- ### .blue[Ejemplo:] `\(X_{t}\left(\varphi\right)\)` = _Valor en el instante t de una señal de frecuencia fija con fase `\(\varphi\)` aleatoria._ `$$X_{t}\left(\varphi\right)=10\cdot\cos\left(0.8t+\varphi\right),\,\,\,\,\varphi\in\left[0,2\pi\right]$$` <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # 2. Función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria. --- ## Función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Cuando estudiamos una variable aleatoria, la primera cuestión de interés es __como se reparte (_como se distribuye_) la probabilidad__ entre los distintos valores que puede tomar dicha variable. Como respuesta a esta cuestión se define la .red[ __función de distribución de probabilidad__] de una variable aleatoria como: <br> .resalta[ `$$\Large{F\left(x\right)=\Pr\left(X\leq x\right)\,\,\,:\,\,\,\,x\in\mathbb{R}}$$` ] --- ### .blue[Ejemplo: lanzamiento de un dado] .pull-left[ <!-- --> ] .pull-right[ `\(X\)`=_"Puntuación obtenida al lanzar un dado"_ `$$F\left(1\right) =P\left(X\le1\right)=\frac{1}{6}\\ F\left(2\right) =P\left(X\le2\right)=\frac{2}{6}\\ F\left(3\right) =P\left(X\le3\right)=\frac{3}{6}\\ F\left(4\right) =P\left(X\le4\right)=\frac{4}{6}\\ F\left(5\right) =P\left(X\le5\right)=\frac{5}{6}\\ F\left(6\right) =P\left(X\le6\right)=\frac{6}{6}=1$$` ] --- class: split-60 ### .blue[Ejemplo: lanzamiento de un dado dos veces sucesivas] .column[ `\(X\)` = _"Suma de puntuaciones de dos lanzamientos de un dado"_. <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> ] -- <br> .column[ `$$\small{F\left(2\right)=P\left(X\le2\right)=\frac{1}{36}\\ F\left(3\right)=P\left(X\le3\right)=\frac{3}{36}\\ F\left(4\right)=P\left(X\le4\right)=\frac{6}{36}\\ F\left(5\right)=P\left(X\le5\right)=\frac{10}{36}\\ F\left(6\right)=P\left(X\le6\right)=\frac{15}{36}\\ F\left(7\right)=P\left(X\le7\right)=\frac{21}{36}\\ F\left(8\right)=P\left(X\le8\right)=\frac{26}{36}\\ F\left(9\right)=P\left(X\le9\right)=\frac{30}{36}\\ F\left(10\right)=P\left(X\le10\right)=\frac{33}{36}\\ F\left(11\right)=P\left(X\le11\right)=\frac{35}{36}\\ F\left(12\right)=P\left(X\le12\right)=\frac{36}{36}=1}$$` ] --- ### .blue[Ejemplo: lugar donde se produce una avería en una carretera] Se considera un tramo recto y llano de carretera de 6 km de longitud en el que se ha instalado un sistema de control. Sea `\(X\)` el punto kilométrico de este tramo donde se registra la primera parada por avería de un coche desde que se instaló el sistema. Suponiendo que no hay ninguna razón para pensar que sea más probable que las averías se produzcan en un sitio u otro de la carretera, ¿Cuál sería la función de distribución de `\(X\)`? <br> .center[  ] --- Para determinar la forma de `\(F(x)\)` podemos considerar que: * El primer coche en averiarse en este tramo se parará entre el km 0 y el km 6; así pues, `\(X \in [0,6]\)` y por tanto: + `\(F(0) = P(X\le 0) =0\)` + `\(F(6) = P(X\le 6)=1\)` -- * Como las averías son equiprobables en cualquier lugar de la carretera, podemos razonar que: + La probabilidad de que se produzca la avería antes del km 3 es la mitad: `\(P(X\le 3)=\frac{1}{2}\)` -- + La probabilidad de que se produzca la avería antes del km 2 (tercera parte del tramo) es `\(P(X\le 2)=\frac{1}{3}\)` -- + En general, la probabilidad de que se produzca antes del km `\(k\)` es: `\(P(X\le k)=\frac{k}{6}\)` -- Por tanto: `$$\large{F\left(x\right)=\begin{cases} 0 & x<0\\ \frac{x}{6} & 0\le x\le6\\ 1 & x>6 \end{cases}}$$` --- ## Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria. Sea `\(X\)` una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad `\(F\left(t\right)\)` <br> La función `\(F\left(t\right)=P\left[X\leq t\right]\)` verifica las siguientes propiedades: -- * `\(\underset{t\rightarrow-\infty}{Lim}F\left(t\right)=0\)` * `\(\underset{t\rightarrow\infty}{Lim}F\left(t\right)=1\)` -- * `\(F\left(t\right)\)` es una función .red[ __no decreciente__ ] --- ## Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria. ¿Cómo podemos calcular la probabilidad siguiente? `$$P\left[a<X\leq b\right]$$` -- Tengamos en cuenta que: * `\(\left\{ X\leq b\right\} =\left\{ X\leq a\right\} \cup\left\{ a<X\leq b\right\}\)` -- * `\(\left\{ X\leq a\right\} \cap\left\{ a<X\leq b\right\} =\textrm{Ø}\)` -- Por tanto: `$$P\left[X\leq b\right]=P\left[X\leq a\right]+P\left[a<X\leq b\right]$$` -- `$$F\left(b\right)=F\left(a\right)+P\left[a<X\leq b\right]$$` -- .resalta[ `$$\Large{P\left[a<X\leq b\right]=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$$` ] --- ## Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria. ¿Cómo podemos calcular la probabilidad siguiente? `$$P\left[X=a\right]$$` -- * En este caso tenemos que `\(\forall h>0\)` `$$P\left[a-h<X\leq a\right]=F\left(a\right)-F\left(a-h\right)$$` -- * Podemos acercarnos a `\(P\left[X=a\right]\)` si hacemos que `\(h\)` se acerque a `\(0\)`: `$$\underset{h\rightarrow0}{Lim}P\left[a-h<X\leq a\right]=\underset{h\rightarrow0}{Lim}\left\{ F\left(a\right)-F\left(a-h\right)\right\}$$` <br> -- Por tanto: .resalta[ `$$\Large{P\left[X=a\right]=F\left(a\right)-F\left(a-\right)}$$` ] --- background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # 3. Clasificación de variables aleatorias --- ## Variables aleatorias discretas. Una variable aleatoria `\(X\)` se dice .red[ __discreta__ ] cuando el conjunto de valores que puede tomar es finito o numerable. -- ### .blue[Ejemplos:] * El resultado del lanzamiento de un dado -- * La suma de resultados de dos lanzamientos sucesivos de un dado -- * El número de paquetes llegados a un router durante un tiempo `\(t\)` --- ## Variables aleatorias discretas. Su función de distribución es .red[ __escalonada__ ] no decreciente y la probabilidad se concentra en los puntos de salto. -- <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> -- `$$\large{P\left[X=a\right]=F\left(a\right)-F\left(a-\right)}$$` --- ## Variables aleatorias discretas. Llamamos .red[ __función de probabilidad__] de una variable aleatoria discreta `\(X\)` a la función: `$$\large{p(t)=P(X=t)\;:\;\;t\in T}$$` siendo `\(T\)` el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria `\(X\)`. La función de probabilidad cumple que: -- .resalta[ `$$\large{\underset{t\in T}{\sum}P\left(X=t\right)=1}$$` ] -- Además: `$$\large{P\left(a<X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\sum_{a<t\le b}P\left(X=t\right)}$$` --- ## Variables aleatorias continuas. Una variable aleatoria `\(X\)` se dice .red[ __continua__ ] si y solo si su función de distribución `\(F\left(t\right)\)` es continua. Ello implica que `\(X\)` toma valores en un rango continuo. -- ### .blue[Ejemplos:] * La __duración__ de una lámpara. -- * El __tiempo entre llegadas__ de dos paquetes de datos consecutivos a un router. -- * El __valor en un instante `\(t\)`__ de una señal `\(X\left(t\right)=A\cos\left(\omega t+\varphi\right)\)` cuya _fase_ `\(\varphi\)` es aleatoria. -- * El __lugar__ en una carretera en que se produce la avería de un coche. --- ## Distribuciones de probabilidad continuas La función de distribución de una variable aleatoria continua es __no decreciente__ (la función de probabilidad `\(F(x)=P(X\leq x)\)` es acumulativa y por tanto no puede decrecer). -- ###.blue[Ejemplo:] <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Distribuciones de probabilidad continuas En muchas aplicaciones prácticas `\(F(x)\)` es una función "suave": <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> -- En general para las distribuciones continuas: .resalta[ `$$P\left[X=a\right]=F\left(a\right)-F\left(a-\right) = 0$$` ] --- ## Distribuciones de probabilidad continuas Recordemos que (tanto si la variable es discreta como si es continua): `$$P\left(a<X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$` -- En el ejemplo anterior: `$$P\left(5<X\le9\right)=F\left(9\right)-F\left(5\right)=\left(1-e^{-(9/8)^{2}}\right)-\left(1-e^{-(5/8)^{2}}\right)=0.7179-0.3234= 0.3945$$` <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg) background-size: cover background-position: 15% 45% class: inverse, top, left # 4. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. --- # Función de densidad de probabilidad Una función no negativa `\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}\)` que satisface la condición: `$$\int_{-\infty}^{\infty}{f\left(t\right)\cdot dt}=1$$` es la .red[ __función de densidad de probabilidad__] de una variable aleatoria `\(X\)`, si su función de distribución acumulativa `\(F\left(t\right)\)` puede expresarse como: -- <br> .resalta[ `$$F\left(t\right)=\Pr\left(X\leq t\right)=\int_{-\infty}^{t}f\left(x\right)\cdot dx\;:\;\;t\in\mathbb{R}$$` ] <br> En tal caso la función de distribución `\(F(t)\)` se dice __absolutamente continua__. --- ### .blue[Ejemplo:] `\(X\)`=_"Lugar donde se para un coche por avería en una carretera de 6 km"_ .pull-left[ Función de distribución: `$$F(x)=\frac{x}{6},\;\; x\in [0,6]$$` <br> <br> <br> Función de densidad: <br> `$$f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{6} & x\in\left[0,6\right]\\ 0 & x\notin\left[0,6\right] \end{cases}$$` ] .pull-right[ <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> <br><br> <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ### .blue[Ejemplo:] * Función de distribución: `$$F\left(t\right)=1-e^{-\left(t/8\right)^{2}}:\,\,\forall t\geq0$$` <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> -- * Función de densidad: `$$f\left(t\right)=\frac{t}{32}e^{-\left(t/8\right)^{2}}:\,\,\forall t\geq0$$` <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Propiedades de la función de densidad de probabilidad .red[[1.]] Sea `\(X\)` una variable aleatoria y sea `\(f\left(x\right)\)` su función de densidad de probabilidad. Entonces: -- .resalta[ `$$P\left(a<X\leq b\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$$` ] <br> -- _Demostración:_ `$$P\left(a<X\leq b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)=$$` `$$=\int_{-\infty}^{b}f\left(x\right)\cdot dx-\int_{-\infty}^{a}f\left(x\right)\cdot dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$$` --- ## Propiedades de la función de densidad de probabilidad .red[[1.]] Sea `\(X\)` una variable aleatoria y sea `\(f\left(x\right)\)` su función de densidad de probabilidad. Entonces: .resalta[ `$$P\left(a<X\leq b\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\cdot dx$$` ] <br> .large[ __Interpretación geométrica:__ la probabilidad de que la variable `\(\Large{X}\)` tome valores entre `\(\Large{a}\)` y `\(\Large{b}\)` es el .red[ __área bajo la función de densidad__] de `\(\Large{X}\)` entre esos dos puntos. ] --- ### .blue[Ejemplo] `$$f\left(t\right)=\frac{t}{32}e^{-\left(t/8\right)^{2}}:\,\,\forall t\geq0$$` -- `$$P\left(5<X\leq 9\right)=\int\limits _{5}^{9}f\left(t\right)\cdot dt\approx 0.3945$$` <img src="tema2-1_Variables_Aleatorias_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- ### Observación: ¿por qué el nombre "densidad de probabilidad"? -- Si elegimos un valor `\(h\)` lo suficientemente pequeño: `$$\large{P\left(t<X\le t+h\right)=\int_{t}^{t+h}f\left(x\right)dx\approx f(t)h}$$` ya que la integral puede aproximarse por el área de un rectángulo de base `\(h\)` y altura `\(f(t)\)` -- De aquí se sigue que para `\(h\rightarrow0\)`: `$$\large{f(t)\approx \frac{P\left(t<X\le t+h\right)}{h}}$$` <br> Esto es, `\(f(t)\)` es la cantidad de probabilidad en un entorno pequeño de `\(t\)` dividido por lo que mide dicho entorno. Esto justifica que `\(f(t)\)` reciba precisamente el nombre de densidad de probabilidad en `\(t\)`. --- ## Propiedades de la función de densidad de probabilidad .red[[2.]] Sea `\(X\)` una variable aleatoria y sea `\(f\left(x\right)\)` su función de densidad de probabilidad. Si `\(f(x)\)` es continua: -- `$$F\left(t+h\right)-F\left(t\right)=\int_{t}^{t+h}f\left(x\right)\cdot dx$$` -- de donde: `$$\frac{F\left(t+h\right)-F\left(t\right)}{h}=\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}f\left(x\right)\cdot dx$$` -- Para un `\(h\)` es lo suficientemente pequeño se tiene que `\(\int_{t}^{t+h}f\left(x\right)dx\approx f(t)h\)`; por tanto, tomando limite cuando `\(h\rightarrow0\)`: .resalta[ `$$\large{F^{'}\left(t\right)=f\left(t\right)}$$` ]