Inferencia Estadística: Estimación y constraste de hipótesis

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.title[
# Inferencia Estadística: Estimación y constraste de hipótesis
]
.author[
### Angelo Santana
]
.date[
### Master en Sanidad Animal y Seguridad Alimentaria Curso 2020-21
]

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## Bases de inferencia estadística

* Concepto de estimación puntual

* Estimación centrada

* Error estándar de un estimador

* Problemas de tamaños muestrales

* Contrastes de hipótesis

* Grado de evidencia: p-valor

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## Estimación puntual

* Supóngase que la tasa de respuestas de un tratamiento para una enfermedad es  `$\pi = 0.70$`

* Habitualmente este valor es desconocido, por lo que habremos de obtener un valor aproximado a partir de la información suministrada por una muestra de pacientes a la que se aplique el tratamiento.

* Que `$\pi=0.7$` no significa que cuando observemos una muestra aleatoria de pacientes a los que se ha aplicado ese tratamiento, la tasa de respuesta observada en la muestra ( `$\hat{\pi}$` ) sea exactamente el 70%.

* Por ejemplo en una muestra de 20 pacientes (el 70% son 14) no sería extraño que respondiesen al tratamiento sólo 12 pacientes, o quizás 13 ó 15. La tasa de respuesta observada está influida por el azar que ha intervenido en la selección de los pacientes

* La tasa de respuesta `$\hat{\pi}$` observada en la muestra es un .blue[ __estimador puntual__] de `$\pi$`. Es, además, una .blue[ __variable aleatoria__]: su valor no se puede conocer antes de haberlo observado.

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## Estimación puntual

* ¿Qué valores podría tomar `$\hat\pi$` en una muestra aleatoria de 20 pacientes sometidos a ese tratamiento? ¿Cuánto se parecerían esos valores al verdadero valor (desconocido) de `$\pi$`?

* Para saberlo podríamos tomar muchas muestras de 20 pacientes, someterlos al tratamiento y ver qué pasa. Obviamente esto no es algo que podamos hacer en la práctica, pero es fácil de simular con un ordenador.

* A continuación se muestra el número de sujetos con respuesta favorable que se han observado en 100 muestras de 20 pacientes cada una:

_11_, _14_, _16_, _14_, _17_, _14_, _17_, _14_, _13_, _11_, _14_, _11_, _16_, _10_, _14_, _10_, _11_, _13_, _15_, _13_, _15_, _17_, _13_, _17_, _18_, _14_, _9_, _12_, _15_, _16_, _13_, _16_, _17_, _17_, _16_, _16_, _15_, _18_, _11_, _16_, _11_, _13_, _14_, _15_, _14_, _13_, _13_, _13_, _15_, _17_, _15_, _17_, _11_, _14_, _18_, _14_, _14_, _12_, _12_, _15_, _14_, _14_, _12_, _16_, _15_, _12_, _15_, _14_, _13_, _15_, _14_, _15_, _14_, _17_, _15_, _17_, _16_, _11_, _17_, _15_, _16_, _15_, _13_, _15_, _15_, _14_, _13_, _13_, _12_, _15_, _11_, _15_, _16_, _17_, _12_, _14_, _12_, _16_, _15_ and _15_

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Ordenando estos resultados en forma de tabla:

<div class="tabwid"><style>.cl-a44afe28{}.cl-a4365694{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:bold;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a436569e{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a44735ea{margin:0;text-align:left;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a44735f4{margin:0;text-align:right;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a4475566{width:2.85in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4475570{width:0.42in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4475571{width:0.556in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a447557a{width:2.85in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a447557b{width:0.42in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a447557c{width:0.556in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-a44afe28'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-a4475566">Respuestas favorables:</th><th class="cl-a4475570">9</th><th class="cl-a4475571">10</th><th class="cl-a4475571">11</th><th class="cl-a4475571">12</th><th class="cl-a4475571">13</th><th class="cl-a4475571">14</th><th class="cl-a4475571">15</th><th class="cl-a4475571">16</th><th class="cl-a4475571">17</th><th class="cl-a4475571">18</th></tr></thead><tbody><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a447557a">Frecuencia:</td><td class="cl-a447557b">1</td><td class="cl-a447557c">2</td><td class="cl-a447557c">9</td><td class="cl-a447557c">8</td><td class="cl-a447557c">13</td><td class="cl-a447557c">19</td><td class="cl-a447557c">21</td><td class="cl-a447557c">12</td><td class="cl-a447557c">12</td><td class="cl-a447557c">3</td></tr></tbody></table></div>

Nótese que si tenemos que estimar (obtener un valor aproximado de) la tasa de respuesta al tratamiento a partir de una muestra, .red[ __nuestro valor estimado depende de la muestra que hayamos obtenido__]:

* Si nuestra muestra es aquella en la que se han recuperado 9 sujetos, nuestra estimación de la tasa de respuesta sería 9/20 = 45%;

* Si nuestra muestra es aquella en la que se han recuperado 13 sujetos, nuestra estimación de la tasa de respuesta sería 13/20 = 65%;

* Si hacemos la estimación a partir de una muestra donde se han recuperado 18 sujetos, la tasa estimada sería 18/20 = 90%

.blue[ __¡¡¡A priori no podemos saber qué muestra es la que va a salir!!!__]

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Podemos sospechar (acertadamente) que el hecho de que pueda haber tanto margen de error en la estimación de la tasa de respuesta obedece fundamentalmente al pequeño tamaño muestral.

Así pues,

.blue[ __¿Cómo influye el tamaño de la muestra en la precisión de la estimación?__]

#### Estudio de simulación.

* Se aplica el tratamiento a una muestra de `$n$` pacientes y se obtiene la proporción muestral de respuestas favorables `$\hat{\pi}$`. Consideraremos `$n$` = 20, 100, 384, 500 y 1000.

* El paso anterior se repite 10,000 veces, lo que supone disponer de 10,000 observaciones de la variable aleatoria

* Representamos finalmente las 10,000 observaciones de  mediante un histograma de frecuencias relativas para cada uno de los cuatro tamaños muestrales considerados.

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### n=20
<img src="Metodo_Cientifico_4__Inferencia_Estadística_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="500" height="500" style="display: block; margin: auto;" />

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### n=100
<img src="Metodo_Cientifico_4__Inferencia_Estadística_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="500" height="500" style="display: block; margin: auto;" />

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### n=384
<img src="Metodo_Cientifico_4__Inferencia_Estadística_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" width="500" height="500" style="display: block; margin: auto;" />

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### n=500
<img src="Metodo_Cientifico_4__Inferencia_Estadística_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="500" height="500" style="display: block; margin: auto;" />

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## n=1000
<img src="Metodo_Cientifico_4__Inferencia_Estadística_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png" width="500" height="500" style="display: block; margin: auto;" />

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## Propiedades de los estimadores

* Un estimador `$\hat{\theta}$` es __centrado__ para un parámetro `$\theta$`  si:

`$$E\left[\hat{\theta}\right]=\theta$$`

* El __sesgo__ del estimador se define por:

`$$Sesgo\left(\hat{\theta}\right)=E\left[\hat{\theta}\right]-\theta$$`

* El __error estándar__ del estimador es su desviación estándar, que mide la variabilidad del estimador en el muestreo:

`$$sd\left(\hat{\theta}\right)=\sqrt{\textrm{var}\left(\hat{\theta}\right)}$$`

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## Determinación del tamaño muestral: caso general.

* Supóngase que `$\theta$` el verdadero  valor  de  un parámetro de interés.

* Sea `$\hat{\theta}_n$` un estimador basado en una muestra de tamaño `$n$`.

* Fijamos una cota `$B$` para el margen de error que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación.

* Seleccionamos entonces el tamaño muestral `$n$` de tal forma que sea muy probable que la diferencia entre `$\theta$` y `$\hat{\theta}_n$` sea menor que `$B$`:

`$$P\left(\hat{\theta}_{n}-B<\theta<\hat{\theta}_{n}+B\right)=1-\alpha$$`

* El intervalo `$\left(\hat{\theta}_{n}-B,\hat{\theta}_{n}+B\right)$` recibe el nombre de __intervalo de confianza__ siendo `$1- \alpha$` el __nivel de confianza__. En las aplicaciones prácticas el valor de `$\alpha$` se elige habitualmente como 0.05, de forma que `$1-\alpha=0.95$`.

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## Tamaño muestral para la estimación de una probabilidad/proporción

* Sea `$\pi$` la proporción de elementos de una población que poseen un cierto carácter.

* Para su estimación se selecciona una muestra aleatoria de tamaño `$n$` de elementos de esa población.

* Se considera como estimador de la proporción muestral la proporción de elementos de la muestra que poseen el carácter de interés.

* El tamaño muestral `$n$` se selecciona como el valor que satisface:

`$$Pr\left(\hat{\pi}_{n}-B<\pi<\hat{\pi}_{n}+B\right)=1-\alpha$$`
 
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## Tamaño muestral para la estimación de una probabilidad/proporción

* Si en la expresión anterior:
 
 `$$Pr\left(\hat{\pi}_{n}-B<\pi<\hat{\pi}_{n}+B\right)=1-\alpha$$`
 
 tomamos como cota de error B, y como nivel de confianza `$1-\alpha=0.95\;\;\; (95\%)$`, el tamaño de muestra puede expresarse como:

`$$n=\left(\frac{1.96}{B}\right)^{2}\pi\left(1-\pi\right)$$`

Nótese que la solución del problema (el valor de `$n$` buscado) depende del verdadero valor de `$\pi$` (que es desconocido)

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## Tamaño muestral para la estimación de una probabilidad/proporción

`$$n=\left(\frac{1.96}{B}\right)^{2}\pi\left(1-\pi\right)$$`

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<div class="tabwid"><style>.cl-a4a1e3b4{}.cl-a49c4bde{font-family:'DejaVu Sans';font-size:12pt;font-weight:bold;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a49c4be8{font-family:'DejaVu Sans';font-size:12pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a49e98d0{margin:0;text-align:right;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a49eb086{width:0.55in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb087{width:0.886in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb090{width:1.572in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb091{width:1.456in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb09a{width:0.55in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb09b{width:0.886in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb09c{width:1.572in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb09d{width:1.456in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb09e{width:0.55in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb0a4{width:0.886in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb0a5{width:1.572in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a49eb0a6{width:1.456in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-a4a1e3b4'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-a49eb086">π</th><th class="cl-a49eb087">π(1-π)</th><th class="cl-a49eb090">B=0.10 (10%)</th><th class="cl-a49eb091">B=0.05 (5%)</th></tr></thead><tbody><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09a">0.1</td><td class="cl-a49eb09b">0.09</td><td class="cl-a49eb09c">35</td><td class="cl-a49eb09d">139</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09e">0.2</td><td class="cl-a49eb0a4">0.16</td><td class="cl-a49eb0a5">62</td><td class="cl-a49eb0a6">246</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09a">0.3</td><td class="cl-a49eb09b">0.21</td><td class="cl-a49eb09c">81</td><td class="cl-a49eb09d">323</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09e">0.4</td><td class="cl-a49eb0a4">0.24</td><td class="cl-a49eb0a5">93</td><td class="cl-a49eb0a6">369</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09a">0.5</td><td class="cl-a49eb09b">0.25</td><td class="cl-a49eb09c">97</td><td class="cl-a49eb09d">385</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09e">0.6</td><td class="cl-a49eb0a4">0.24</td><td class="cl-a49eb0a5">93</td><td class="cl-a49eb0a6">369</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09a">0.7</td><td class="cl-a49eb09b">0.21</td><td class="cl-a49eb09c">81</td><td class="cl-a49eb09d">323</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09e">0.8</td><td class="cl-a49eb0a4">0.16</td><td class="cl-a49eb0a5">62</td><td class="cl-a49eb0a6">246</td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-a49eb09a">0.9</td><td class="cl-a49eb09b">0.09</td><td class="cl-a49eb09c">35</td><td class="cl-a49eb09d">139</td></tr></tbody></table></div>
</center>

Nótese que el máximo se obtiene para `$\pi=0.5$`. En la práctica si no se conoce ninguna aproximación inicial para `$\pi$` se usa este valor, que es el que produce el mayor tamaño de muestra.

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## Tamaño muestral: calculadoras online

- [sample-size.net (Universidad de California-San Francisco)](https://sample-size.net/)

- [Working in Epidemiology (WinEpi)](http://www.winepi.net/f108.php)

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## Contrastes de hipótesis

¿Cómo determinar si los datos recogidos en una muestra contienen evidencia suficiente para tomar una decisión sobre una hipótesis científica? ¿Cómo evaluar el grado de evidencia?

.blue[ __Ejemplo:__] Hay indicios de que cierta mutación en el gen P53 aparece con más frecuencia en sujetos con cáncer de pulmón que en sujetos sanos. ¿Puede asegurarse que la presencia de dicha mutación aumenta el riesgo de padecer cáncer de pulmón?

Para responder a esta pregunta se realiza un estudio de casos y controles. Veamos los datos.

---

## Asociación gen p53 - Cáncer de pulmón

.center[
![:scale 80%](imagenes/genP53.png)
]

* El objetivo de la investigación es determinar si la mutación en el gen p53 (WM ó MM) se asocia con el cáncer de pulmón.

* Representaremos por `$\pi_E$` y `$\pi_C$` las __verdaderas probabilidades__ de que la mutación esté presente en los grupos E y C respectivamente.

* ¿Es `$\pi_E \neq \pi_C$` ?

* Formulamos entonces el contraste de hipótesis:

`$$\begin{cases}
H_{0}: & \pi_E=\pi_C\\
H_{1}: & \pi_E\neq \pi_C
\end{cases}$$`

---

## Contraste de hipótesis: errores _alfa_ y _beta_

En todo contraste son siempre posibles dos tipos de error:

.center[
![:scale 70%](imagenes/errores.png)
]

---

## Contrastes de hipótesis

`1.` Planteamiento de las Hipótesis:

* Nula: `$H_{0}:\pi_E=\pi_C$`

* Alternativa: `$H_{1}:\pi_E\neq \pi_C$`
  
--

`2.` Toma de datos

* En el ejemplo del estudio de asociación cáncer-p53: _tabla de contingencia_ 
 
--

`3.` Aplicación de la regla de decisión (__test de hipótesis__)

* Fijar un error alfa  ( `$\alpha$` )
  
  * Calcular el p-valor del test.

* Rechazar `$H_0$` si `$p-valor < \alpha$` y aceptar en caso contrario.
 
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## Asociación gen p53 - Cáncer de pulmón

* Frecuencias observadas:

<div class="tabwid"><style>.cl-a4babf2e{}.cl-a4b4e4aa{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:bold;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a4b4e4b4{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a4b723b4{margin:0;text-align:left;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a4b73ac0{width:1.223in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73aca{width:1.611in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73acb{width:1.223in;height:0.458in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73ad4{width:1.611in;height:0.458in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73ad5{width:1.223in;height:0.458in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73ad6{width:1.611in;height:0.458in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73ad7{width:1.223in;height:0.459in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4b73ad8{width:1.611in;height:0.459in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-a4babf2e'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-a4b73ac0">Alelos</th><th class="cl-a4b73aca">Cáncer (E)</th><th class="cl-a4b73aca">Control (C)</th><th class="cl-a4b73aca">Total (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td class="cl-a4b73acb">WM ó MM</td><td class="cl-a4b73ad4">139</td><td class="cl-a4b73ad4">102</td><td class="cl-a4b73ad4">241 (22.78%)</td></tr><tr><td class="cl-a4b73ad5">WW</td><td class="cl-a4b73ad6">377</td><td class="cl-a4b73ad6">440</td><td class="cl-a4b73ad6">817 (77.22%)</td></tr><tr><td class="cl-a4b73ad7">Total (%)</td><td class="cl-a4b73ad8">516 (48.77%)</td><td class="cl-a4b73ad8">542 (51.23%)</td><td class="cl-a4b73ad8">1058</td></tr></tbody></table></div>

* Frecuencias Esperadas suponiendo cierta `$H_0$`:

<div class="tabwid"><style>.cl-a4d04c68{}.cl-a4caeb24{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:bold;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a4caeb2e{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a4cd2d6c{margin:0;text-align:left;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a4cd4414{width:1.223in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4415{width:1.419in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd441e{width:1.477in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd441f{width:1.282in;background-color:rgba(207, 207, 207, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4420{width:1.223in;height:0.443in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4428{width:1.419in;height:0.443in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4429{width:1.477in;height:0.443in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd442a{width:1.282in;height:0.443in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4432{width:1.223in;height:0.432in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4433{width:1.419in;height:0.432in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4434{width:1.477in;height:0.432in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4435{width:1.282in;height:0.432in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd443c{width:1.223in;height:0.436in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd443d{width:1.419in;height:0.436in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd443e{width:1.477in;height:0.436in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a4cd4446{width:1.282in;height:0.436in;background-color:rgba(239, 239, 239, 1.00);vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-a4d04c68'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-a4cd4414">Alelos</th><th class="cl-a4cd4415">Cáncer (E)</th><th class="cl-a4cd441e">Control (C)</th><th class="cl-a4cd441f">Total (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td class="cl-a4cd4420">WM ó MM</td><td class="cl-a4cd4428">117.54</td><td class="cl-a4cd4429">123.46</td><td class="cl-a4cd442a">241</td></tr><tr><td class="cl-a4cd4432">WW</td><td class="cl-a4cd4433">398.46</td><td class="cl-a4cd4434">418.54</td><td class="cl-a4cd4435">817</td></tr><tr><td class="cl-a4cd443c">Total</td><td class="cl-a4cd443d">516</td><td class="cl-a4cd443e">542</td><td class="cl-a4cd4446">1058</td></tr></tbody></table></div>

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## Asociación gen p53 - Cáncer de pulmón

* Prueba Chi-cuadrado: distancia entre los datos y `$H_0$`:

`$$\chi^{2}_{obs}=\sum_{i,j}\frac{\left(n_{ij}-e_{ij}\right)^{2}}{e_{ij}}=9.449$$`
--

* Elegimos `$\alpha = 0.05$`

* p-valor: 0.0021122

* Regla de decisión: _Rechazar_ `$H_0$` _si_ `$p-valor < \alpha$`

* __Decisión__: Rechazar `$H_0$`. Por tanto el test resulta significativo y concluimos que los datos muestran evidencia suficiente de que `$\pi_E\neq\pi_C$`

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## Asociación gen p53 - Cáncer de pulmón

* Para presentar los resultados se suele redactar una frase como la siguiente: _Los datos permiten estimar que la prevalencia de cáncer entre los que tienen la mutación es `$\pi_E=26.9\%$`, mientras que entre los que no la tienen es `$\pi_C=18.82\%$`. La diferencia entre ambas prevalencias ha resultado significativa (p=0.0021)_

* En este caso particular, la comparación entre ambas prevalencias se realiza a través de la _odds-ratio_ (que veremos en el capítulo siguiente), que cuantifica el incremento en el riesgo de padecer cáncer cuando se es portador de la mutación. La odds-ratio y su intervalo de confianza son:

<div class="tabwid"><style>.cl-a58c7fb4{}.cl-a586f990{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:bold;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a586f99a{font-family:'DejaVu Sans';font-size:14pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-a5896392{margin:0;text-align:right;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-a5897b16{width:1.213in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a5897b20{width:1.426in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a5897b21{width:1.213in;height:0.458in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-a5897b22{width:1.426in;height:0.458in;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 1.5pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table data-quarto-disable-processing='true' class='cl-a58c7fb4'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><th class="cl-a5897b16">OR</th><th class="cl-a5897b20">CI95%</th></tr></thead><tbody><tr><td class="cl-a5897b21">1.590472</td><td class="cl-a5897b22">(1.19, 2.13)</td></tr></tbody></table></div>