Probabilidad: una introducción (2)

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# Probabilidad: una introducción (2)
### .darkgrey[Angelo Santana]

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## Ejemplo 2

.pull-left[
![:scale 180%](data:image/png;base64,#images/plagusia.png)
.small[[Imagen extraida de Wikipedia, De Teknad - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0](https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=54581099)]
]

.pull-right[
Se ha realizado un estudio para evaluar si es admisible la hipótesis de que la sex ratio de la especie de cangrejos _Plagusia depressa_ es 1 (esto es, que machos y hembras se encuentran en una proporción 50%-50%). Para ello se ha capturado una muestra aleatoria de 60 cangrejos de esta especie, de los cuáles 21 han resultado ser machos y 39 hembras. __¿Constituye esta muestra evidencia suficiente de que en esa especie hay más hembras que machos?__
]

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### Hipótesis inicial

* El problema es idéntico al que ya hemos visto en el ejemplo 1 (determinar si es admisible la hipótesis de que hay el mismo número de alumnos y alumnas en una facultad universitaria); sin embargo en aquel ejemplo la población era __finita__ de __tamaño conocido y relativamente pequeño__ (268 estudiantes en total), mientras que en este caso, el tamaño de la población de cangrejos es __desconocido__, aunque presumiblemente __muy grande__.

* Si la hipótesis de sex ratio igual a 1 fuese cierta, en una muestra aleatoria cabría esperar un número similar, __aunque no necesariamente igual__, de machos y hembras.

* El resultado observado (21 machos y 39 hembras), .blue[ _¿es esperable (tiene una probabilidad alta de ocurrencia) bajo la hipótesis inicial, o no?_ ]

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### Regla de decisión

* De nuevo utilizaremos la misma regla para decidir sobre la validez de la hipótesis de partida (que la sex ratio es igual a 1): suponiendo que dicha hipótesis es cierta, calcularemos cuál es la probabilidad de observar 21 machos y 39 hembras en una muestra de 60 ejemplares.

* Si esta probabilidad tiene un valor alto, concluiremos que la muestra observada es perfectamente compatible con dicha hipótesis, y por tanto no hay evidencia suficiente que indique que es falsa.

* Por el contrario, si esta probabilidad tiene un valor muy bajo, ello indicaría que la ocurrencia de este suceso es muy difícil bajo esa hipótesis, por lo que tendríamos cierta evidencia para rechazarla.

* __¿Cómo calcular la probabilidad de 21 machos y 39 hembras en este caso?__

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class: reducedFont

### Probabilidad

.column3070[
![](data:image/png;base64,#images/Laplace.jpg)
.small[
[[Pierre Simon de Laplace en Wikipedia]](https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace)
]

]

.column3070[

<br>

En este caso no parece haber una manera evidente de aplicar la regla de Laplace,
`$$\Pr\left(A\right)=\frac{\textrm{# Casos Favorables a A}}{\textrm{# Casos Posibles}}$$`
ya que en una población de tamaño desconocido no se puede calcular el número de casos favorables y de casos posibles del mismo modo que hicimos con los alumnos de la facultad del ejemplo anterior.
]

__¡Es preciso generalizar la definición de probabilidad!__

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## Definición axiomática de probabilidad

Sea `$\Omega$` el conjunto de los posibles sucesos asociados a un __fenómeno aleatorio__ (experimento u observación cuyo resultado exacto no puede conocerse _a priori_).

Una __medida de probabilidad__ es una función definida sobre los sucesos de `$\Omega$` que satisface los siguientes axiomas:

1. `$0\le\Pr\left(A\right)\le1\,\,\,\textrm{para todo suceso }A\subseteq\Omega$`

2. `$\Pr\left(\Omega\right)=1$`

3. Dados dos sucesos `$A$` y `$B$` tales que `$A\cap B=\textrm{Ø}$`, entonces:

`$$\Pr\left(A\cup B\right)=\Pr\left(A\right)+\Pr\left(B\right)$$`

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## Algunas propiedades de la Probabilidad

<br>

1. `$\Pr\left(\textrm{Ø}\right)=0$`

2. `$\Pr\left(A^{C}\right)=1-\Pr\left(A\right)$`

3. Si `$A\subset B$`, entonces `$\Pr\left(A\right)\leq\Pr\left(B\right)$`

4. `$\Pr\left(A\cup B\right)=\Pr\left(A\right)+\Pr\left(B\right)-\Pr\left(A\cap B\right)$`

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## Probabilidad condicionada

Un suceso `$A$` contiene información de otro suceso `$B$`, cuando la ocurrencia o no de `$A$` modifica la probabilidad de `$B$`.

### .blue[Ejemplos:]

* Se lanza un dado dos veces: si la primera vez sale un 2 ¿ello nos da alguna información sobre lo que saldrá la segunda vez?

* En una urna hay dos bolas blancas y una negra. Se sacan dos bolas, sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Informa el color de la primera bola sobre el color de la segunda?.

* Si se saca una tercera bola, también sin reemplazamiento. ¿Informa el color de las dos primeras sobre el color de la tercera?

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## Probabilidad condicionada

Se define la probabilidad del suceso `$B$` condicionado por el suceso `$A$` como:

`$$\Pr\left(B\mid A\right)=\frac{\Pr\left(A\cap B\right)}{\Pr\left(A\right)}$$`

<br>

### Regla multiplicativa

De la definición de probabilidad condicionada se sigue que:

`$$\Pr\left(A\cap B\right)=\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\mid A\right)$$`

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## Independencia de sucesos

Un suceso __B es independiente de A__ cuando A no contiene información sobre B, esto es:

`$$\Pr\left(B\mid A\right)=\Pr\left(B\right)$$`

<br>

Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B:
`$$\Pr\left(A\left|B\right.\right)=\frac{\Pr\left(A\cap B\right)}{\Pr\left(B\right)}=\frac{\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\left|A\right.\right)}{\Pr\left(B\right)}=\frac{\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\right)}{\Pr\left(B\right)}=\Pr\left(A\right)$$`
Por tanto A y B se dicen _mutuamente independientes_ o simplemente __independientes__.

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## Independencia de sucesos

De acuerdo con la definición de probabilidad condicionada:

`$$\Pr\left(B\mid A\right)=\frac{\Pr\left(A\cap B\right)}{\Pr\left(A\right)}$$`
<br> 
__Si A y B son independientes__, entonces `$\Pr\left(B\mid A\right)=\Pr\left(B\right)$` y por tanto de la definición anterior se sigue que:

`$$\Pr\left(A\cap B\right)=\Pr\left(A\right)\Pr\left(B\right)$$`
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<br>
Esta última probabilidad se puede generalizar a `$n$` sucesos independientes:
`$$\Pr\left(A_{1}\cap A_{2}\cap\cdots\cap A_{n}\right)=\Pr\left(A_{1}\right)\Pr\left(A_{2}\right)\cdots\Pr\left(A_{n}\right)$$`
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