Ejercicio 1

Si llamamos \(\pi\) a la proporción de nidos afectados por cangrejos en toda la isla, de acuerdo con lo que hemos señalado más arriba, el contraste que se plantea es: \[\begin{cases} H_{0}: & \pi\le0.5\\ H_{1}: & \pi>0.5 \end{cases}\]

Podemos calcular cuál es la proporción de nidos con cangrejos en nuestra muestra:

tortugas %>% 
  filter(!is.na(cangrejos)) %>% 
  tabyl(cangrejos) %>% 
  adorn_totals("row")

##  cangrejos   n   percent
##          0 305 0.3388889
##          1 595 0.6611111
##      Total 900 1.0000000

Por tanto, un 66.11% de los nidos de la muestra (595 nidos de 900) están afectados por cangrejos. Por tanto en esta muestra, la proporción de nidos afectados por cangrejos supera el 50%. Pero, ¿la evidencia aportada por esta muestra es suficiente para asegurar que en toda la isla la proporción de nidos con cangrejos supera el 50%?. Para ello resolvemos el contraste mediante binom_test:

binom.test(595,900,p=0.5,alternative="greater")

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  595 and 900
## number of successes = 595, number of trials = 900, p-value <
## 2.2e-16
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6342374 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.6611111

Como el p-valor es prácticamente 0, aplicamos la regla de decisión que nos indica que se debe rechazar \(H_0\); por tanto concluimos que hay evidencia suficiente de que los cangrejos afectan a más de la mitad de los nidos de la isla.

NOTA: En la redacción de informes o de artículos científicos, es habitual mostrar el valor exacto del p-valor con cuatro dígitos para valores hasta 0.0001. Para valores menores que éste, se suele señalar simplemente mediante la expresión \(p<0.0001\)

Ejercicio 2

Si llamamos \(\pi\) a la proporción de nidos con al menos una cría muerta, el contraste que se plantea en este caso es

\[\begin{cases} H_{0}: & \pi\le0.4\\ H_{1}: & \pi>0.4 \end{cases}\]

Contamos el número de nidos donde hay al menos una cría muerta:

tortugas %>% 
  mutate(tieneCriasMuertas=ifelse(crias_Muertas>0,"Sí","No")) %>% 
  filter(!is.na(tieneCriasMuertas)) %>% 
  tabyl(tieneCriasMuertas) %>% 
  adorn_totals("row")

##  tieneCriasMuertas   n   percent
##                 No 526 0.5844444
##                 Sí 374 0.4155556
##              Total 900 1.0000000

Como vemos en 374 de los 900 nidos (un 41.55%) hay al menos una cría muerta. Este resultado parece contradecir la hipótesis de que la proporción de tales nidos es como mucho un 40%. La realización del contraste de hipótesis nos aclarará si esta diferencia de un 1.55% es suficiente para asegurar que en realidad en toda Boavista el porcentaje de nidos con crías muertas supera el 40%, o si simplemente este 1.55% está dentro del “ruido” o variabilidad aleatoria que cabe esperar por causa del muestreo, y por tanto no es suficiente para descartar la hipótesis de partida. Realizamos el contraste:

binom.test(374,900,p=0.4,alternative="greater")

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  374 and 900
## number of successes = 374, number of trials = 900, p-value =
## 0.1791
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.4
## 95 percent confidence interval:
##  0.3882137 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.4155556

Como vemos, el p-valor es 0.1791. Como es mayor que 0.05, concluimos que la evidencia no es suficiente para rechazar la hipótesis nula y por tanto podemos admitir que en Boavista la proporción (poblacional) de nidos con al menos una cría muerta no alcanza el 40%. Obsérvese que R nos ofrece además un intervalo de confianza que nos indica que con la muestra que tenemos, con un 95% de confianza lo más que podemos llegar a asegurar es que la proporción de nidos con al menos una cría muerta es mayor que el 38.82%.

Ejercicio 3

En el contraste anterior hemos considerado admisible la hipótesis de que la proporción de nidos con al menos una cría muerta es menor o igual que 0.4, aún cuando la estimación de dicha proporción en la muestra está ligeramente por encima de ese valor. Cabe preguntarse cuál es la probabilidad de que estemos cometiendo un error tipo II, esto es, aceptando una hipótesis nula que es falsa. Como la hipótesis nula puede ser falsa de muchas maneras (en este caso \(H_0\) es que \(\pi\le0.4\); esta hipótesis puede ser falsa si \(\pi=0.45\), o si \(\pi=0.47\), o si \(\pi=0.7\), …), normalmente debemos fijar cuál (o cuales) de todas las alternativas posibles nos interesa no confundir con la nula.

En el planteamiento de la pregunta se nos dice que la alternativa que no queremos confundir con la hipótesis nula es \(\pi=0.45\); esto es, que nos preocuparía decidir que \(\pi\le 0.40\) cuando en realidad \(\pi=0.45\). La potencia es la probabilidad complementaria del error II, y para calcularla en este caso debemos usar la función power_binom_test() del paquete MESS:

library(MESS)
power_binom_test(n=900, p0=0.4, pa=0.45, sig.level=0.05, alternative="greater")

## 
##      One-sample exact binomial power calculation 
## 
##               n = 900
##              p0 = 0.4
##              pa = 0.45
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.9153819
##     alternative = greater

Como vemos, la potencia es del 91.53%; o dicho de otro modo, con una muestra como ésta, de 900 nidos, la probabilidad de cometer un error II (en este caso concreto, aceptar que \(\pi\le 0.4\) cuando en realidad \(\pi=0.45\)) es 1-0.9153=0.0847.

Ejercicio 4

El enunciado nos indica que queremos que la probabilidad de cometer un error tipo II (aceptando \(H_0\) cuando es falsa porque \(\pi=0.45\)) sea como mucho del 5%. Eso significa que queremos realizar el contraste con una potencia de al menos el 95%. En la práctica (como resulta bastante intuitivo), la única manera de reducir el riesgo de error es tener más información. Esto se traduce en que deberíamos tomar una muestra más grande (o cambiar la estrategia de muestreo, pero eso queda para otro curso). Para calcular el tamaño de muestra también podemos usar power_binom_test() del siguiente modo, indicando en pa el valor de la alternativa para el que deseamos alcanzar la potencia indicada, en este caso 0.95:

power_binom_test(p0=0.4, pa=0.45, sig.level=0.05, power=0.95)

## 
##      One-sample exact binomial power calculation 
## 
##               n = 1296
##              p0 = 0.4
##              pa = 0.45
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.95
##     alternative = two.sided

Este resultado nos indica que necesitaríamos una muestra de 1296 nidos.

Por tanto, cuando a la función power_binom_test() le damos el tamaño de muestra, nos devuelve la potencia obtenida con ese tamaño; y si le damos la potencia que queremos conseguir nos devuelve el tamaño de muestra necesario.

Ejercicio 6

tortugas %>%
  mutate(cangrejos=factor(cangrejos,levels=c(0,1),labels=c("No","Sí"))) %>% 
  filter(playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme") %>% 
  tabyl(playa,cangrejos, show_na = FALSE) %>% 
  adorn_totals("col") %>% 
  adorn_percentages("row") %>% 
  adorn_pct_formatting() %>% 
  adorn_ns() %>% 
  adorn_title("combined") %>% 
  flextable() %>% 
  fontsize(size=12,part="all") %>% 
  autofit()

Téngase en cuenta que la pregunta no es si en estas dos muestras la proporción de nidos con cangrejos es mayor en Ponta Cosme que en Ervatao, que es evidente que sí, sino si en el total de las playas, incluyendo aquellos nidos que no se han muestreado, la proporción es mayor en Ponta Cosme que en Ervatao.

Para resolver este contraste debemos tener en cuenta que R ordena las variables alfanuméricas en orden alfabético. Por tanto la “primera” playa es Ervatao y la segunda “Ponta Cosme”. Llamando \(\pi\) a la proporción de nidos con cangrejos, el contraste planteado es:

\[\begin{cases} H_{0}: & \pi_{E}\ge\pi_{PC}\\ H_{1}: & \pi_{E}<\pi_{PC} \end{cases}\]

Para resolver este contraste utilizamos la función prop.test() del siguiente modo:

prop.test(x=c(159,258),n=c(290,356),conf.level=0.95, alternative="less")

## 
##  2-sample test for equality of proportions with continuity
##  correction
## 
## data:  c(159, 258) out of c(290, 356)
## X-squared = 20.979, df = 1, p-value = 2.322e-06
## alternative hypothesis: less
## 95 percent confidence interval:
##  -1.0000000 -0.1114535
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5482759 0.7247191

Como vemos, el p-valor (2.322e-06) es menor que \(\alpha=0.05\). Por tanto concluimos que hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) y concluir que, efectivamente, la proporción de nidos con cangrejos es mayor en Ponta Cosme. Normalmente en publicaciones e informes el resultado de un contraste de proporciones se presenta en una tabla como la siguiente:

tortugas %>% 
  filter(!is.na(cangrejos)&(playa=="Ponta Cosme"|playa=="Ervatao")) %>%
  group_by(playa) %>% 
  summarise(nE=sum(cangrejos),n=n()) %>% 
  do(tidy(prop.test(x=c(.$nE[1],.$nE[2]),n=c(.$n[1],.$n[2]),conf.level=0.95, alternative="less"))) %>% 
  do(formatTest(.$estimate1,.$estimate2, .$p.value, 
                alternative=.$alternative, labels=c("Ervatao","Ponta Cosme"),
                variable = "Presencia de Cangrejos")) %>% 
  flextable() %>% 
  fontsize(size=14, part="all") %>% 
  autofit() 

Ejercicio 7

La siguiente tabla nos indica cuántos nidos tenían cangrejos en esas campañas, y qué proporción representaban:

tortugas %>% 
  mutate(cangrejos=factor(cangrejos,levels=c(0,1),labels=c("No","Sí"))) %>% 
  filter(!is.na(cangrejos)&(Año==1999|Año==2004)) %>%
  tabyl(Año,cangrejos, show_na = FALSE) %>% 
  adorn_totals("col") %>% 
  adorn_percentages("row") %>% 
  adorn_pct_formatting() %>% 
  adorn_ns() %>% 
  adorn_title("combined") %>% 
  flextable() %>% 
  fontsize(size=12,part="all") %>% 
  autofit()

Vemos que en 1999 tenían cangrejos un 60.8% de los nidos, frente a un 68.9% en 2004. Para determinar si la diferencia entre ambas proporciones es significativa (es decir, si existe evidencia suficiente de que en la población completa de nidos tales proporciones eran distintas) el test a realizar es:

\[\begin{cases} H_{0}: & \pi_{1999}=\pi_{2004}\\ H_{1}: & \pi_{1999}\neq\pi_{2004} \end{cases}\]

Para realizar este contraste utilizamos prop.test(). Como la alternativa es ver si existen diferencias (no se pide ver si una proporción era mayor o menor que otra, sino si eran distintas), podemos especificar alternative="two.sided" o no especificar nada, ya que ésta es la alternativa por defecto:

prop.test(x=c(87,122),n=c(143,177),conf.level=0.95)

## 
##  2-sample test for equality of proportions with continuity
##  correction
## 
## data:  c(87, 122) out of c(143, 177)
## X-squared = 1.9405, df = 1, p-value = 0.1636
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.19230750  0.03055965
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.6083916 0.6892655

Como vemos, el p-valor es 0.1636, lo que significa que el contraste es no significativo, o que no hay diferencias significativas entre las dos proporciones. Por tanto, no hay evidencia de que la proporción de nidos con cangrejos haya cambiado entre el año 1999 y el 2004. La diferencia encontrada en las muestras (60.8% en 1999 frente al 68.9% en 2004) puede atribuirse al error aleatorio del muestreo. El resultado anterior nos muestra el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones que, como vemos contiene al cero. De hecho un test bilateral (esto es, un test donde se compara si dos parámetros son iguales frente a la alternativa de que sean distintos) es equivalente a comprobar si el intervalo contiene o no al cero. Si un intervalo de confianza a nivel \(1-\alpha\) contiene al cero, eso significa que en un contraste con nivel de significación \(\alpha\) no se detectarán diferencias significativas entre los valores de los parámetros.

Ejercicio 8

De acuerdo con lo que hemos visto en el ejercicio 6, en Ponta Cosme durante las campañas anteriores había un 72.5% de nidos afectados por cangrejos. Una reducción del 15% significa que el año próximo esperamos que la proporción se reduzca a un 57.5%. El tamaño de muestra necesario para detectar dicha reducción con la significación y potencia especificadas se puede calcular usando la función power_prop_test(), también del paquete MESS:

power_prop_test(p1=0.725, p2=0.575, sig.level=0.05, power=0.9, alternative="one.sided")

## 
##      Two-sample comparison of proportions power calculation 
## 
##               n = 171.2983
##              p1 = 0.725
##              p2 = 0.575
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.9
##     alternative = one.sided
## 
## NOTE: n is number in *each* group

Necesitaríamos, por tanto, una muestra de 172 nidos en cada zona de la playa. Si la diferencia a detectar fuese más pequeña, de un 10%, cabe esperar que el tamaño de muestra necesario sea más grande. La sintaxis a utilizar en este caso sería:

power_prop_test(p1=0.725, p2=0.625, sig.level=0.05, power=0.9, alternative="one.sided")

## 
##      Two-sample comparison of proportions power calculation 
## 
##               n = 373.8606
##              p1 = 0.725
##              p2 = 0.625
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.9
##     alternative = one.sided
## 
## NOTE: n is number in *each* group

y por tanto necesitaríamos 374 nidos en cada zona de la playa.

Ejercicio 9

Con luna llena en Ervatao anidaron 4+17=21 tortugas que son un \(\frac{21}{62}=0.3387=33.87\)% de las 62 de la muestra; cuando no había luna, en Ervatao anidaro 4+10=14 tortugas, que son un \(\frac{14}{62}=22.58\)% de las 62. Por tanto, es evidente que en esta muestra la proporción de tortugas que anidan en Ervatao sin luna es menor que con luna. Para decidir si este resultado puede generalizarse a la población de tortugas debemos hacer el contraste de hipótesis siguiente, donde \(\pi\) es la proporción de tortugas que anidan en Ervatao:

\[\begin{cases} H_{0}: & \pi_{conLuna}=\pi_{sinLuna}\\ H_{1}: & \pi_{conLuna}\neq\pi_{sinLuna} \end{cases}\]

El contraste de proporciones con muestras emparejadas se resuelve en R mediante la función mcnemar.test():

tabla <- luzNidos %>% 
  select(id,luna,playa) %>% 
  pivot_wider(values_from = playa, names_from = luna) %>% 
  tabyl(si,no)
tabla

##           si Ervatao Ponta Cosme
##      Ervatao       4          17
##  Ponta Cosme      10          31

Para pasar los resultados de esta tabla al test de Mc Nemar debemos quitar la primera columna (que tiene los nombres), y convertir la parte numérica de la tabla en matriz (ya que este test requiere que los datos se le pasen en forma de matriz):

mcnemar.test(as.matrix(tabla[,-1]))

## 
##  McNemar's Chi-squared test with continuity correction
## 
## data:  as.matrix(tabla[, -1])
## McNemar's chi-squared = 1.3333, df = 1, p-value = 0.2482

NOTA: El test de mc Nemar no permite resolver contrastes unilaterales.

Ejercicio 10

El contraste a resolver es:

\[\begin{cases} H_{0}: & \mu\le81\\ H_{1}: & \mu>81 \end{cases}\]

Si calculamos la longitud media de las tortugas en la muestra tenemos:

tortugas %>% 
  summarize(mean(LCC))

## # A tibble: 1 x 1
##   `mean(LCC)`
##         <dbl>
## 1        81.9

por lo que en principio habría cierta evidencia en contra de \(H_0\) ¿Es suficiente esta evidencia para rechazar esa hipótesis? Usamos el t.test():

t.test(tortugas$LCC, mu=81, alternative="greater")

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  tortugas$LCC
## t = 7.0851, df = 1276, p-value = 1.146e-12
## alternative hypothesis: true mean is greater than 81
## 95 percent confidence interval:
##  81.70209      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  81.91457

El p-valor es menor que \(\alpha=0.05\), por lo que concluimos que efectivamente hay evidencia suficiente para asegurar que por término medio el caparazón de estas tortugas en mayor que 81 cm.

Ejercicio 10

El contraste a resolver es:

\[\begin{cases} H_{0}: & \mu\le61\\ H_{1}: & \mu>61 \end{cases}\]

El peso medio de las tortugas de la muestra es:

tortugas %>% summarize(mean(peso))

## # A tibble: 1 x 1
##   `mean(peso)`
##          <dbl>
## 1         60.4

por lo que en principio la hipótesis es admisible; no sería necesario ni siquiera realizar el test, ya que no hay ninguna evidencia en contra de la hipótesis enunciada. En cualquier caso, si aplicamos t.test:

t.test(tortugas$peso,mu=61,alternative="greater")

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  tortugas$peso
## t = -3.8183, df = 1276, p-value = 0.9999
## alternative hypothesis: true mean is greater than 61
## 95 percent confidence interval:
##  60.19928      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  60.44049

Como vemos, p-valor>0.05, por lo que se admite \(H_0\)

Ejercicio 11

Utilizamos power.t.test(). Para usar esta función hay que indicar el tamaño de la muestra (tenemos 1277 tortugas) y la desviación típica de la variable de interés, en este caso el peso:

power.t.test(n=1277, sd=sd(tortugas$peso), delta=0.5, alternative="one.sided")

## 
##      Two-sample t test power calculation 
## 
##               n = 1277
##           delta = 0.5
##              sd = 5.236486
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.7785326
##     alternative = one.sided
## 
## NOTE: n is number in *each* group

Así pues, la potencia es del 77.85%. Esta es la probabilidad de rechazar que las tortugas en media pesan menos de 61 kg cuando en realidad pesan 61.5.

Ejercicio 12

Si llamamos \(\mu\) a la profundidad media de los nidos, el contraste a realizar es de la forma:

\[\begin{cases} H_{0}: & \mu_{E}\le\mu_{PC}\\ H_{1}: & \mu_{E}>\mu_{PC} \end{cases}\]

La profundidad media de los nidos en cada playa puede obtenerse mediante:

tortugas %>% 
  filter(playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme") %>% 
  group_by(playa) %>% 
  summarize(profMedia=mean(profNido))

## # A tibble: 2 x 2
##   playa       profMedia
##   <chr>           <dbl>
## 1 Ervatao          58.9
## 2 Ponta Cosme      45.1

por lo que en principio los nidos de la muestra de Ervatao son más profundos en media que los de la muestra de Ponta Cosme, pero ¿es esto suficiente para asegurar que en general todos los nidos de Ervatao son en media más profundos que los de Ponta Cosme?. Para responder a esta pregunta debemos hacer un t.test:

t.test(profNido~playa,
       data=subset(tortugas,playa=="Ervatao"|playa=="Ponta Cosme"), alternative="greater")

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  profNido by playa
## t = 32.353, df = 914.65, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  13.07169      Inf
## sample estimates:
##     mean in group Ervatao mean in group Ponta Cosme 
##                  58.88425                  45.11165

Como vemos, el p-valor es muy pequeño, menor que \(\alpha=0.05\), por lo que la evidencia es suficiente para asegurar que en Ervatao los nidos son realmente más profundos que en Ponta Cosme y que no es solo algo que haya podido ocurrir por azar en estas muestras.

Ejercicio 13

Nuevamente usaremos power.t.test; para ello necesitamos una estimación de la varianza en cada grupo, que obtenemos a partir de los datos disponibles en nuestra muestra actual:

tortugas %>%
  group_by(playa) %>% 
  summarize(var=var(profNido),n=n())

## # A tibble: 4 x 3
##   playa            var     n
##   <chr>          <dbl> <int>
## 1 Calheta         32.8   196
## 2 Ervatao         33.9   419
## 3 Ponta Cosme     49.9   498
## 4 Porto Ferreiro  40.9   164

Ahora estas estimaciones de la varianza deben combinarse para obtener una estimación de la varianza promedio de ambos grupos, ponderando por el tamaño de cada uno de ellos; su raiz cuadrada nos dará una estimación de la desviación típica de la variable:

\[s_{p}=\sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right)s_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}\]

El valor de \(s_p\) en este caso es:

sqrt((418*33.9+497*49.9)/(419+498-2))

## [1] 6.526156

Como la profundidad de los nidos se mide en centimetros, la desviación típica anterior estará también en centímetros, por lo que la diferencia a detectar debemos expresarla también en cm, esto es, delta=5:

power.t.test(delta=5,sd=6.526156,power=0.9,sig.level=0.05,alternative="one.sided")

## 
##      Two-sample t test power calculation 
## 
##               n = 29.88076
##           delta = 5
##              sd = 6.526156
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.9
##     alternative = one.sided
## 
## NOTE: n is number in *each* group

Por tanto, para detectar una diferencia media de 5 cm (para que esa diferencia sea declarada como significativa en caso de ser detectada) necesitaremos una muestra de 30 nidos en cada playa.