MEDIDAS DE ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Para un suceso $A$ tal que $Pr\left( A \right) > 0$, la probabilidad de otro suceso $B$ condicionada por $A$ se define por:

$$Pr\left(\textrm{B}\left|\textrm{A}\right.\right)=\frac{Pr\left(\textrm{A}\cap\textrm{B}\right)}{Pr\left(\textrm{A}\right)}$$

Dos sucesos $A$ y $B$ se dicen independientes si:

$$Pr\left(\textrm{B}\left|A\right.\right)=Pr\left(B\right)$$ En caso contrario $A$ y $B$ están asociados. ¿Cómo medir la fuerza de la asociación?

PROBABILIDAD: Ejemplo

En los últimos años se han detectado problemas de piel en los delfines. Se ha realizado una campaña y se han capturado 1030 delfines. Se sospecha que la presencia de cierto contaminante en el agua puede estar asociada con la presencia de lesiones en la piel de los delfines:

Para cada delfín se ha anotado si el contaminante está presente o no en su hábitat natural. La tabla siguiente muestra los datos disponibles:

De esta tabla deducimos:

$$Pr\left(LP\right)=\frac{128}{1030}=0.124 \;\;\;\;\;\;\; Pr\left(C\right)=\frac{324}{1030}=0.314$$

$$Pr\left(\textrm{LP}\left|\textrm{C}\right.\right)=\frac{N\left(\mathrm{LP}\cap\mathrm{C}\right)}{N\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{83}{83+241}=\frac{83}{324}=0.256$$

$$Pr\left(\textrm{C}\left|\textrm{LP}\right.\right)=\frac{N\left(\mathrm{LP}\cap\mathrm{C}\right)}{N\left(\mathrm{LP}\right)}=\frac{83}{83+45}=\frac{83}{128}=0.648$$

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

La asociación entre dos sucesos puede medirse mediante el riesgo relativo, definido como:

$$RR=\frac{P\left(B\left|A\right.\right)}{P\left(B\left|A^{c}\right.\right)}$$

($A^c$ es el suceso contrario de $A$)  

Nótese que:

• RR = 1 : No hay asociación

• RR > 1 : La ocurrencia de A incrementa la probabilidad de B. (riesgo)

• RR < 1 : La ocurrencia de A disminuye la probabilidad de B. (protección)

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

El RR como medida de asociación no es una medida simétrica: no es lo mismo el riesgo relativo de B según la presencia/ausencia de A que el riesgo relativo de A según la presencia/ausencia de B.

Veamos un ejemplo:

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

$$P\left(LP\left|C\right.\right)=0.2562 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; P\left(LP\left|{C}^c\right.\right)=0.0637$$

El riesgo relativo de padecer lesiones de la piel (LP) cuando el delfín está expuesto a Contaminacion (C) es entonces:

$$RR=\frac{P\left(LP\left|C\right.\right)}{P\left(LP\left|{C}^{c}\right.\right)}=\frac{0.2562}{0.0637}=4.02$$

El riesgo de padecer LP es 4 veces más alto entre los delfines expuestos al contaminante.

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

$$P\left(C\left|LP\right.\right)=0.6484 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; P\left(C\left|{LP}^c\right.\right)=0.2672$$

El riesgo relativo de que el hábitat esté contaminado cuando el delfín presenta lesiones en la piel (LP) es entonces:

$$RR=\frac{P\left(C\left|LP\right.\right)}{P\left(C\left|{LP}^{c}\right.\right)}=\frac{0.6484}{0.2672}=2.43$$

El riesgo de vivir en una zona contaminada es 2.43 veces más alto entre los delfines que tienen lesiones de piel.

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

El riesgo relativo no debe utilizarse como medida de asociación en estudios de Caso-Control.

Supongamos que el estudio anterior se hubiese realizado como un estudio de casos y controles, siendo los casos los sujetos con LP y los controles los sujetos sin LP. En un estudio de esta clase, tanto el número de casos (128) como el número de controles (902) son elegidos arbitrariamente por el investigador.

Supongamos que el investigador hubiese decidido elegir 4000 casos; si la proporción de sujetos que proceden de zona con contaminación entre los que tienen LP hubiese sido la misma que la ya observada ello significaría que de los 4000 casos, 2594 (el 64.84%) provendrían de hábitats contaminados y 1406 (el 35.16%) de hábitats sin contaminación. La tabla resultante en este caso sería de la forma:

Asociación entre eventos: Riesgo Relativo (RR)

Entonces:

$$P\left(LP\left|C\right.\right)=\frac{2594}{2835}=0.9150 \;\;\;\;\;\;\; P\left(LP\left|{C}^c\right.\right)=\frac{1406}{2067}=0.6802$$

El riesgo relativo de LP cuando hay C es entonces:

$$RR=\frac{P\left(LP\left|C\right.\right)}{P\left(LP\left|{C}^{c}\right.\right)}=\frac{0.9150}{0.6802}=1.34$$

Así pues, el riesgo se ha reducido casi a la mitad, ¡solo por haber aumentado el tamaño de la muestra!

Asociación entre eventos: Odds-Ratio (OR)

• Definición de odd (ventaja): mide cuanto más probable es la ocurrencia de un suceso B frente a la no ocurrencia del mismo suceso: $$odd(B)=\frac{P\left(B\right)}{P\left(B^C\right)}$$

• Definición de odds-ratio: evalúa el cociente de las odds (ventajas) de $B$ según que ocurra o no un segundo suceso $A$: $$OR=\frac{odd(B\left|A\right.)}{odd(B\left|A^C\right.)}=\frac{P\left(B\left|A\right.\right)\left/P\left(B^{C}\left|A\right.\right)\right.}{P\left(B\left|A^{C}\right.\right)\left/P\left(B^{C}\left|A^{C}\right.\right)\right.}=\frac{P\left(B\left|A\right.\right)\cdot P\left(B^{C}\left|A^{C}\right.\right)}{P\left(B^{C}\left|A\right.\right)\cdot P\left(B\left|A^{C}\right.\right)}$$

• Una OR>1 significa que $A$ favorece la ocurrencia de $B$ ($A$ es factor de riesgo para $B$)

• Una OR<1 significa que $A$ dificulta la ocurrencia de $B$ ($A$ es factor de protección frente a $B$)

• Una OR=1 significa que $A$ no favorece ni dificulta la ocurrencia de $B$ (No hay asociación entre ambos sucesos)

Asociación entre eventos: Odds-Ratio (OR)

Los datos para el cálculo de la OR se suelen presentar en una tabla como la siguiente:

Nótese que los sucesos $B$ y $A$ ocupan, respectivamente, la primera fila y la primera columna de esta tabla

La odds-ratio se calcula entonces como el producto de la diagonal principal dividido entre el producto de la diagonal inversa:

$$OR=\frac{P\left(B\left|A\right.\right)\cdot P\left(B^{C}\left|A^{C}\right.\right)}{P\left(B^{C}\left|A\right.\right)\cdot P\left(B\left|A^{C}\right.\right)}$$

Asociación entre eventos: Odds-Ratio (OR)

Se puede probar que la OR es una medida de asociación simétrica: $$OR=\frac{odd(B\left|A\right.)}{odd(B\left|A^{C}\right.)}=\frac{P\left(B\left|A\right.\right)\cdot P\left(B^{C}\left|A^{C}\right.\right)}{P\left(B^{C}\left|A\right.\right)\cdot P\left(B\left|A^{C}\right.\right)}=$$ $$=\frac{P\left(A\left|B\right.\right)\cdot P\left(A^{C}\left|B^{C}\right.\right)}{P\left(A^{C}\left|B\right.\right)\cdot P\left(A\left|B^{C}\right.\right)}=\frac{odd(A\left|B\right.)}{odd(A\left|B^{C}\right.)}$$

La validez de este resultado se deduce del Teorema de Bayes: Sea $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ un sistema completo de sucesos y sea B un suceso arbitrario tal que $B\cap A_{j}\ne\emptyset$. Entonces:

$$P\left(A_{j}\left|B\right.\right)=\frac{{P\left(B\left|A_{j}\right.\right)P\left({A_{j}}\right)}}{{\sum\limits _{i=1}^{n}{P\left(B\left|A_{i}\right.\right)P\left({A_{i}}\right)}}}$$

Asociación entre eventos: Odds-Ratio (OR)

$$OR=\frac{P\left(C\left|LP\right.\right)/P\left(C^{c}\left|LP\right.\right)}{P\left(C\left|LP^{c}\right.\right)/P\left(C^{c}\left|LP^{c}\right.\right)}$$ $$= \frac{0.6484/0.3516}{0.2672/0.7328}=\frac{1.844}{0.3646}=5.06$$

Asociación entre eventos: Odds-Ratio (OR)

$$OR=\frac{P\left(LP\left|C\right.\right)/P\left(LP^{c}\left|C\right.\right)}{P\left(LP\left|C^{c}\right.\right)/P\left(LP^{c}\left|C^{c}\right.\right)}$$ $$= \frac{0.2562/0.7438}{0.0637/0.9363}=\frac{0.3444}{0.068}=5.06$$

ESTUDIOS OBSERVACIONALES: El problema de los factores de confusión.

ESTUDIOS OBSERVACIONALES: El problema de los factores de confusión.

Consideremos ahora otras variables en nuestro estudio:

ESTUDIOS OBSERVACIONALES: El problema de los factores de confusión.

¿Es la contaminación la causa de las lesiones en la piel?

ESTUDIOS OBSERVACIONALES: El problema de los factores de confusión.

¿Es la contaminación la causa de las lesiones en la piel?

diabetes-HTA

¿o hay un efecto confusor de la edad del delfín?

Las zonas contaminadas están más próximas a la costa; asimismo, los delfines jóvenes se mantienen más cerca de la costa que los delfines adultos; podría ocurrir que los delfines jóvenes sean más propensos a infecciones que causan lesiones en la piel, y como éstos están más cerca de la costa, donde hay más contaminación, ello da lugar a que aparezca una asociación entre contaminación y lesiones epidérmicas.

Distribución de probabilidad binomial

• Consideremos un experimento aleatorio en el cuál solo son posibles dos resultados excluyentes; por ejemplo, seleccionar al azar a un delfín de una población y determinar si ese delfín tiene o no lesiones en la piel .

• Sea $\pi$ la probabilidad de ocurrencia de cierto suceso de interés; por ejemplo, que el delfín tenga lesiones en la piel .

• Supongamos que el experimento se repite $n$ veces en las mismas condiciones, de tal forma que los sucesivos resultados sean independientes; por ejemplo, se evalúan $n$ delfines elegidos al azar en la misma población .

• Sea $X$ = “número de ocurrencias del suceso de interés”; por ejemplo, el número de delfines con lesiones cutáneas entre los $n$ .

• $X$ es, por definición, una variable aleatoria con distribución de probabilidad binomial de parámetros $n$ y $\pi$.

Distribución de probabilidad binomial

• Para denotar las variables aleatorias binomiales de parámetros $n$ y $\pi$ utilizaremos la notación:

$$X\cong B\left(n,\pi\right)$$

• Puede demostrarse que:

  • $E\left[X\right]=n\pi$

  • $var\left(X\right)=n\pi\left(1-\pi\right)$

  • $sd\left(X\right)=\sqrt{n\pi\left(1-\pi\right)}$

• Y también que:

$$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\pi^{k}\left(1-\pi\right)^{n-k}$$

Distribución de probabilidad binomial

Ejemplo

• La prevalencia $\pi$ de lesiones de piel en nuestra población de delfines es del 12.4% (128 casos en una muestra de 1030 delfines).

• Si se elige una muestra de tamaño $n$ de esta población y se define la variable aleatoria:

  $X$ = “Número de delfines con lesiones cutáneas”

  entonces $X\cong B\left(n,0.124\right)$.

• Ya hemos visto que la contaminación se asocia con la presencia de lesiones en la piel. Esta asociación se traduce en que el parámetro de la distribución binomial cambia según que los sujetos vivan en una zona con o sin contaminación.

Regresión logística.

La variable Contaminacion determina dos hábitats:

Hábitat 0 $\cong$ {Contaminacion=No} y Hábitat 1 $\cong$ {Contaminacion=Sí}

Si se eligiera una muestra aleatoria de tamaño $n_i$ en el hábitat $i$, el número de delfines con lesiones cutáneas en esa muestra sería una variable aleatoria binomial de parámetros $n_i$ y $\pi\left(i\right)$, $i=0,1$. Concretamente:

• En el hábitat 0 (no contaminado): $X\cong B\left(n,\pi\left(0\right)=0.0637\right)$.

• En el hábitat 1 (contaminado): $X\cong B\left(n,\pi\left(1\right)=0.2562\right)$.

Regresión logística.

• Si consideramos la variable

$$I_{Contam}=\begin{cases} 0 & Contaminacion=No\\ 1 & Contaminacion=Sí \end{cases}$$

• El modelo de regresión logística asume que la función $\pi\left(i\right)$ es de la forma:

  $$\pi\left(I_{Contam}\right)=Pr\left(LP\left|I_{Contam}\right.\right)=\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\cdot I_{Contam}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\cdot I_{Contam}\right)}$$

• En este caso se obtienen: $\beta_0$ = -2.68709, $\beta_1$ = 1.62114

• De forma que:

  • $\pi\left(I_{Contam}=1\right)=\frac{\exp\left(-2.68709+1.62114 \right)}{1+\exp\left(-2.68709+1.62114\right)} \approx 0.2562$

  • $\pi\left(I_{Contam}=0\right)=\frac{\exp\left(-2.68709 \right)}{1+\exp\left(-2.68709\right)} \approx 0.0637$

Estimación de la regresión logística con R

logist <- glm(LP~Contaminacion,data=delfines,family=binomial)
summary(logist)

## 
## Call:
## glm(formula = LP ~ Contaminacion, family = binomial, data = delfines)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -0.7693  -0.3629  -0.3629  -0.3629   2.3465  
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      -2.6871     0.1541 -17.442  < 2e-16 ***
## ContaminacionSí   1.6211     0.1998   8.113 4.96e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 773.22  on 1029  degrees of freedom
## Residual deviance: 703.56  on 1028  degrees of freedom
## AIC: 707.56
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

Interpretación de los coeficientes de la regresión logística

• A partir del modelo

$$Pr\left(LP\left|I_{Contam}\right.\right)=\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\cdot I_{Contam}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\cdot I_{Contam}\right)}$$

puede probarse sin mucha dificultad que:

$$OR=\frac{\Pr\left(LP\left|Contam\right.\right)\left/\Pr\left(LP^{c}\left|Contam\right.\right)\right.}{\Pr\left(LP\left|Contam^{c}\right.\right)\left/\Pr\left(LP^{c}\left|Contam^{c}\right.\right)\right.}=\exp\left(\beta_{1}\right)=e^{\beta_{1}}$$

• En este caso:

$$e^{\beta_{1}} = e^{1.62114} = 5.0589$$

Regresión logística: OR e intervalo de confianza con R

• OR:

exp(coef(logist))

##     (Intercept) ContaminacionSí 
##      0.06807867      5.05882895

• Intervalos de confianza:

exp(confint(logist))

##                      2.5 %     97.5 %
## (Intercept)     0.04963516 0.09092621
## ContaminacionSí 3.43664865 7.53453814

Distribución binomial con el parámetro $\pi$ dependiente de varios factores

Cuando consideramos conjuntamente la presencia o no de contaminación y el grupo de edad a que pertenece el delfín, obtenemos la siguiente tabla para los totales y proporciones de delfines con lesiones cutáneas:

Regresión logística multivariante

• Consideramos ahora que la probabilidad de que un delfin tenga lesiones cutáneas depende no sólo de la presencia de contaminación sino también del grupo de Edad (Adulto=0, Juvenil=1):

$$\pi\left(I_{Contam},I_{Edad}\right)=\Pr\left(LP\left|I_{Contam},I_{Edad}\right.\right)=\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}I_{Edad}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}I_{Edad}\right)}$$

• En este caso se obtienen: $\beta_0$ = -3.62584, $\beta_1$ = 1.06299, $\beta_2$ = 2.22082

• De forma que:

  • $\pi\left(I_{Contam}=0, I_{Edad}=0\right)=\frac{\exp\left(-3.62584 \right)}{1+\exp\left(-3.62584\right)} \approx 0.0259$

  • $\pi\left(I_{Contam}=0,I_{Edad}=1\right)=\frac{\exp\left(-3.62584+2.22082 \right)}{1+\exp\left(-3.62584+2.22082\right)} \approx 0.197$

  • $\pi\left(I_{Contam}=1,I_{Edad}=0\right)=\frac{\exp\left(-3.62584+1.06299 \right)}{1+\exp\left(-3.62584+1.06299\right)} \approx 0.0716$

  • $\pi\left(I_{Contam}=1,I_{Edad}=1\right)=\frac{\exp\left(-3.62584+1.06299 +2.22082 \right)}{1+\exp\left(-3.62584+1.06299 +2.22082 \right)} \approx 0.4153$

Estimación con R

logist <- glm(LP~Contaminacion+Edad,data=delfines,family=binomial)
summary(logist)

## 
## Call:
## glm(formula = LP ~ Contaminacion + Edad, family = binomial, data = delfines)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -1.0360  -0.3854  -0.2293  -0.2293   2.7026  
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      -3.6258     0.2238 -16.204  < 2e-16 ***
## ContaminacionSí   1.0630     0.2163   4.915 8.86e-07 ***
## EdadJuvenil       2.2208     0.2429   9.144  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 773.22  on 1029  degrees of freedom
## Residual deviance: 600.68  on 1027  degrees of freedom
## AIC: 606.68
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 6

Estimación con R

Predicción

logist <- glm(LP~Contaminacion+Edad,data=delfines,family=binomial)
dtf=data.frame(Contaminacion=factor(c("No","No","Sí","Sí")),
               Edad=factor(c("Adulto","Juvenil","Adulto","Juvenil")))
cbind(dtf,predic=predict(logist,newdata=dtf, type="response"))

##   Contaminacion    Edad     predic
## 1            No  Adulto 0.02593608
## 2            No Juvenil 0.19702022
## 3            Sí  Adulto 0.07156769
## 4            Sí Juvenil 0.41531521

Estimación con R

OR:

exp(coef(logist))

##     (Intercept) ContaminacionSí     EdadJuvenil 
##      0.02662668      2.89500851      9.21487079

Intervalos de confianza para las OR:

exp(confint(logist))

##                      2.5 %      97.5 %
## (Intercept)     0.01673201  0.04033425
## ContaminacionSí 1.90056305  4.44332512
## EdadJuvenil     5.80800938 15.10193864

Regresión logística multivariante: Odds-ratios ajustadas

• En regresión logística multivariante, el efecto de cada variable ha de interpretarse bajo el supuesto de que el resto de variables que intervienen en el modelo no cambian de valor.

• Así la OR de 2.895 entre LP y Contaminacion en este modelo significa que:

  • cuando se comparan dos individuos adultos : el que viva en un hábitat contaminado tiene un riesgo 2.895 veces mayor de padecer LP que el que vive en un hábitat limpio.

  • cuando se comparan dos individuos juveniles : el que viva en un hábitat contaminado tiene un riesgo 2.895 veces mayor de padecer LP que el que vive en un hábitat limpio.

Diremos entonces que 2.895 es la odds-ratio entre LP y Contaminación ajustada por Edad

Nótese que la OR entre LP y Contaminación sin ajustar era 5.06; la disminución a 2.895 significa que parte de la asociación entre LP y Contaminación se explica por la edad.

Regresión logística multivariante: Odds-ratios ajustadas

• Asimismo la OR de 9.214 entre LP y Edad en este modelo significa que:

  • cuando se comparan dos individuos que viven en hábitat contaminado : el juvenil tiene un riesgo 9.214 veces mayor de padecer LP que el adulto.

  • cuando se comparan dos individuos en un hábitat sin contaminación : el juvenil tiene un riesgo 9.214 veces mayor de padecer LP que el Adulto.

Diremos entonces que 9.214 es la odds-ratio entre LP y Edad ajustada por la presencia de contaminación

Regresión logística multivariante: asociación con variables continuas

• ¿Cuál es el efecto del peso sobre la probabilidad de padecer Lesiones en la Piel?

$$\pi\left(\textrm{peso}\right)=\Pr\left(LP\left|\textrm{peso}\right.\right)=\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\textrm{peso}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}\textrm{peso}\right)}$$

• En este caso se obtienen: $\beta_0$ = 2.17443, $\beta_1$ = -0.0087

• La OR entre LP y peso es entonces $e^{\beta_{1}}=e^{-0.0087}=0.99134$

• Esta OR representa la disminución (pues es menor que 1) en el riesgo de padecer lesiones en la piel por cada kg adicional de peso del delfín.

• Podemos calcular la disminución de riesgo que se produce en un delfín que pese 80 kg más que otro:

$$e^{80 \beta_{1}}=e^{-0.696} = 0.4985756$$

Por tanto, por cada 80 kg de incremento de peso, el riesgo de padecer lesiones en la piel se reduce a la mitad.

Regresión logística multivariante

• Podemos visualizar el efecto del peso sobre el riesgo de padecer lesiones en la piel:

mg <- glm(LP ~ peso, data=delfines, family=binomial)
peso=seq(200,700,length=200)
pLP=predict(mg,newdata=data.frame(peso=peso),type="response")
plot(pLP~peso, ylab="pr(LP)", type="l", col="blue",lwd=2)

Regresión logística multivariante

Podemos usar la regresión logística para ajustar el efecto del peso sobre el riesgo de padecer lesiones en la piel según el tipo de hábitat (contaminado o no) donde viva el delfín:

$$\pi\left(I_{Contam},\textrm{peso}\right)=\Pr\left(LP\left|I_{Contam},\textrm{peso}\right.\right)=$$

$$\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}\textrm{peso}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}\textrm{peso}\right)}$$

• En este caso: $\beta_0$ = 1.05744, $\beta_1$ = 0.94434, $\beta_2$ = -0.00725

• La OR de padecer lesiones en la piel cuando el hábitat está contaminado, ajustada por el peso del delfín, es entonces:

$$e^{\beta_1} = e^{0.94434} = 2.57112$$

• Esto es, para un peso fijo, el vivir en un hábitat contaminado incrementa en 2.57 veces el riesgo de padecer lesiones en la piel, con respecto a vivir en un hábitat limpio.

mg <- glm(LP ~ Contaminacion + peso, data=delfines, family=binomial)
summary(mg)

## 
## Call:
## glm(formula = LP ~ Contaminacion + peso, family = binomial, data = delfines)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -1.4838  -0.4896  -0.3111  -0.2258   2.7909  
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.0574439  0.4741222   2.230   0.0257 *  
## ContaminacionSí  0.9443353  0.2200621   4.291 1.78e-05 ***
## peso            -0.0072522  0.0009333  -7.771 7.81e-15 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 773.22  on 1029  degrees of freedom
## Residual deviance: 637.21  on 1027  degrees of freedom
## AIC: 643.21
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

Odds-Ratio

exp(coef(mg))

##     (Intercept) ContaminacionSí            peso 
##        2.879003        2.571104        0.992774

exp(confint(mg))

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##                     2.5 %    97.5 %
## (Intercept)     1.1344205 7.3000662
## ContaminacionSí 1.6737438 3.9726820
## peso            0.9909244 0.9945626

• Representamos ahora gráficamente la relación entre la probabilidad de padecer lesiones en la piel y el peso según que el animal viva en un hábitat contaminado o limpio:

• El gráfico muestra que cualquiera que sea el valor del peso, el riesgo de padecer LP es mayor entre los delfines que viven en hábitats contaminados. Puede apreciarse además que la diferencia entre los riesgos va disminuyendo a medida que aumenta el peso.

El código utilizado para generar el gráfico anterior fue:

mg <- glm(LP ~ Contaminacion + peso, data=delfines, family=binomial)
delfines$pLP=mg$fitted        # Añadimos las predicciones a la base de datos
delfines=delfines[order(delfines$peso), ] # Ordenamos por peso
si.Contaminacion=subset(delfines,Contaminacion=="Sí")   # habitat contaminado
no.Contaminacion=subset(delfines,Contaminacion=="No")   # habitat no contaminado

plot(pLP~peso,delfines, type="n", xlab="peso", ylab="pr(LP)")  # Gráfico en blanco
lines(no.Contaminacion$peso,no.Contaminacion$pLP,type="l",col="darkgreen",lwd=2,lty=2)
lines(si.Contaminacion$peso,si.Contaminacion$pLP,type="l",col="red3",lwd=2,lty=1)
legend("topright", c("Contaminacion Sí","Contaminacion No"), 
       lty=c(1,2), col=c("red3","darkgreen"), lwd=2, bty="n")

Regresión logística multivariante

• Por último estudiamos la asociación de la presencia de lesiones en la piel con la contaminación ajustando simultáneamente por Edad y Peso:

$$\pi\left(I_{Contam},I_{Edad},\textrm{peso}\right)=\Pr\left(LP\left|I_{Contam},I_{Edad},\textrm{peso}\right.\right)=$$

$$=\frac{\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}I_{Edad}+\beta_{3}\textrm{peso}\right)}{1+\exp\left(\beta_{0}+\beta_{1}I_{Contam}+\beta_{2}I_{Edad}+\beta_{3}\textrm{peso}\right)}$$

mg2 <- glm(LP~Contaminacion+Edad+peso,data=delfines,family=binomial)
summary(mg2)

## 
## Call:
## glm(formula = LP ~ Contaminacion + Edad + peso, family = binomial, 
##     data = delfines)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -1.7904  -0.4269  -0.1931  -0.1226   3.1551  
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.431514   0.516648   0.835   0.4036    
## ContaminacionSí  0.486373   0.234574   2.073   0.0381 *  
## EdadJuvenil      2.371529   0.255720   9.274  < 2e-16 ***
## peso            -0.008310   0.001056  -7.873 3.47e-15 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 773.22  on 1029  degrees of freedom
## Residual deviance: 528.87  on 1026  degrees of freedom
## AIC: 536.87
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 6

• Entre los juveniles, el riesgo de LP disminuye con el peso, si bien dicho riesgo es siempre mayor donde hay contaminación. En el caso de los adultos, el riesgo de padecer LP también disminuye a medida que aumenta el peso, pero el efecto de la contaminación sólo se deja sentir en los animales más pequeños; En los delfines adultos grandes no hay más riesgo de lesiones por vivir en hábitats contaminados.

El código utilizado para generar el gráfico anterior fue:

delfines$pLP=mg2$fitted        # Añadimos las predicciones a la base de datos
delfines=delfines[order(delfines$peso), ] # Ordenamos por peso
par(mfrow=c(1,2))

# Juveniles
delfinesEdad=subset(delfines,Edad=="Juvenil")
si.Contaminacion=subset(delfinesEdad,Contaminacion=="Sí")   # Juveniles en region contaminada
no.Contaminacion=subset(delfinesEdad,Contaminacion=="No")   # Juveniles en region limpia
plot(pLP~peso,delfines, type="n", xlab="peso", ylab="pr(LP)",
     main="Juveniles")  
lines(no.Contaminacion$peso,no.Contaminacion$pLP,type="l",col="darkgreen",lwd=2,lty=2)
lines(si.Contaminacion$peso,si.Contaminacion$pLP,type="l",col="red3",lwd=2,lty=1)
legend("bottomleft", c("Contaminacion+","Contaminacion-"), 
       lty=c(1,2), col=c("red3","darkgreen"), lwd=2, bty="n")

# Adultos
delfinesEdad=subset(delfines,Edad=="Adulto")
si.Contaminacion=subset(delfinesEdad,Contaminacion=="Sí")   # Adultos en region contaminada
no.Contaminacion=subset(delfinesEdad,Contaminacion=="No")   # Adultos en region limpia
plot(pLP~peso,delfines, type="n", xlab="peso", ylab="pr(LP)",
     main="Adultos")  
lines(no.Contaminacion$peso,no.Contaminacion$pLP,type="l",col="darkgreen",lwd=2,lty=2)
lines(si.Contaminacion$peso,si.Contaminacion$pLP,type="l",col="red3",lwd=2,lty=1)
legend("topright", c("Contaminacion+","Contaminacion-"), 
       lty=c(1,2), col=c("red3","darkgreen"), lwd=2, bty="n")

Regresión logística multivariante

• Resumen de la estimación del modelo: