Estadística y Procesos Estocásticos Tema 6: Procesos Estacionarios: Filtros lineales

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# Estadística y Procesos Estocásticos Tema 6: Procesos Estacionarios: Filtros lineales
### Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

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background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/darkGaussianBlur.jpg)
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# Filtros Lineales

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## .blue[Filtros Lineales]

* Sea `$\large X(t)$` un proceso estacionario, formado por una superposición continua de armónicos con frecuencias en el rango `$\large [-\pi, \pi]$`

* Se desea .red[ __"filtrar"__] el proceso: .blue[ _modificar la contribución a la varianza del proceso (potencia de la señal) de las componentes armónicas en cierto rango_] `$\large [\omega_1,\omega_2]$`

* Esto se consigue construyendo un nuevo proceso `$\large Y(t)$` mediante:

.resalta[
`$$\Large Y\left(t\right)=\sum\limits _{u=-\infty}^{\infty}{g_{u}\cdot X\left({t-u}\right)}$$`
`$\hspace{0.5cm}$` siendo:

`$$\Large \sum\limits _{u=-\infty}^{\infty}{\left|{g_{u}}\right|<\infty}$$`
]

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## .blue[Filtros Lineales]

* Dado `$\large  Y\left(t\right)=\sum\limits _{u=-\infty}^{\infty}{g_{u}\cdot X\left({t-u}\right)}$`, se denomina .red[ __Filtro Lineal__] a la sucesión de coeficientes `$\large g_u$`.

* Obsérvese que `$\large Y\left(t\right)$` es una combinación lineal de valores pasados, presente y _futuros_ de `$\large X(t)$`

* El filtro se dice .red[ __realizable__] si `$g_{u}=0,\;u<0$`, esto es, si no depende de los valores futuros de `$X(t)$` (que obviamente no han podido observarse aún)

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## .blue[Filtros Lineales]

Si `$\large X(t)$` tiene función de densidad espectral `$\large f_X(\omega)$`, entonces la función de densidad espectral de `$\large Y(t)$` viene dada por la ecuación:

.resalta[

`$$\Large{f_{Y}\left(\omega\right)=f_{X}\left(\omega\right)\cdot\left|{\Gamma\left(\omega\right)}\right|^{2}}$$`
`$\hspace{0.5cm}$` siendo:

`$$\Large \Gamma\left(\omega\right)=\sum\limits _{u}{g_{u}\cdot e^{-i\omega u}}$$`
]

La función `$\large \Gamma\left(\omega\right)$` se denomina .red[ __Función de transferencia__]

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## .blue[Filtros Lineales]

Si:

`$$\Large \Gamma\left(\omega\right)=\sum\limits _{u}{g_{u}\cdot e^{-i\omega u}}$$`

Los coeficientes `$g_u$` pueden hallarse mediante la transformada inversa de esta función:

.resalta[
`$$\Large g_{u}=\frac{1}{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\Gamma\left(\omega\right)\cdot  e^{i\omega u} \cdot d\omega}$$`

]

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

* Se desea filtrar un proceso estacionario `$\large{X(t)}$` de tal forma que el proceso de salida resultante `$\large{Y(t)}$` concentre toda su varianza sobre los armónicos de frecuencia .blue[ __inferior__] a `$\large \omega_0$`.

* Esto es lo mismo que filtrar (eliminar) los armónicos con frecuencia .blue[ __superior__] a `$\large \omega_0$`
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* Como `$\large f_{Y}\left(\omega\right)=f_{X}\left(\omega\right)\cdot\left|{\Gamma\left(\omega\right)}\right|^{2}$`, utilizaremos una función de transferencia de la forma:

`$$\Large \Gamma\left(\omega\right)=\begin{cases}
1 & :\,\,\left|\omega\right|\leq\omega_{0}\\
0 & :\,\,\left|\omega\right|>\omega_{0}\\
\end{cases}$$`

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Gráficamente:

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Gráficamente (eligiendo `$\omega0=1$`:

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Como la función de transferencia es:

`$$\large \Gamma\left(\omega\right)=\begin{cases}
1 & :\,\,\left|\omega\right|\leq\omega_{0}\\
0 & :\,\,\left|\omega\right|>\omega_{0}\\
\end{cases}$$`

los coeficientes `$g_u$` del filtro serán:

`$$\large g_{u}=\frac{1}{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\Gamma\left(\omega\right)\cdot  e^{i\omega u} \cdot d\omega}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_{0}}^{\omega_{0}}e^{i\omega u}d\omega=$$`
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`$$\large =\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{iu}e^{i\omega u}\right]_{-\omega_{0}}^{\omega_{0}}=\frac{1}{2\pi iu}\left(e^{i\omega_{0}u}-e^{-i\omega_{0}u}\right)=$$`
--

`$$\large =\frac{1}{2\pi iu}\left(cos\left(\omega_{0}u\right)+isen\left(\omega_{0}u\right)-cos\left(\omega_{0}u\right)+isen\left(\omega_{0}u\right)\right)=\frac{1}{\pi u}sen\left(\omega_{0}u\right)$$`

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

En particular:

`$$\large g_{0}=\underset{u\rightarrow0}{\textrm{lim}}\frac{1}{\pi u}sen\left(\omega_{0}u\right)=\underset{u\rightarrow0}{\textrm{lim}}\frac{\omega_{0}}{\pi}\frac{sen\left(\omega_{0}u\right)}{\omega_{0}u}=\frac{\omega_{0}}{\pi}$$`
Si elegimos `$\bf \omega_0=1$` la representación gráfica de los primeros 500 coeficientes del filtro es:

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Ambas series superpuestas:

Como puede apreciarse, el efecto del filtro ha sido, efectivamente, eliminar la variación a las frecuencias más altas.

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Si elegimos ahora `$\bf \omega_0=0.1$` (filtramos todas las frecuencias excepto las más bajas), los primeros 500 coeficientes del filtro son:

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

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## .blue[Filtros Lineales: Ejemplo]

Ambas series superpuestas:

El efecto del filtro con `$\omega_0=0.1$` ha sido "alisar" mucho la serie al eliminar la variación a todas las frecuencias excepto las más bajas.

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## .blue[Densidad espectral de un proceso MA(q)]

* Un proceso estacionario en tiempo discreto `$\left\{ X\left(t\right),\;t\in\mathbb{Z}\right\}$` es un .red[ __proceso de medias móviles de orden q__] si:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=b_{0}e\left(t\right)+b_{1}e\left({t-1}\right)+\;...\;+b_{q}e\left({t-q}\right)$$`
]

`$\hspace{0.75cm}$` siendo `$\large \left\{ e\left(t\right),\;t\in\mathbb{Z}\right\}$` un ruido blanco.

* De esta definición se sigue que un proceso MA(q) es un ruido blanco filtrado siendo `$b_0, b_1, \dots, b_q$` los coeficientes del filtro.

* Por tanto, la densidad espectral del proceso `$X(t)$` será:

$$ \Large f_X(\omega) = f_e(\omega)\cdot \left|\Gamma(\omega)\right|^2,\;\; -\pi\le \omega\le \pi$$

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## .blue[Densidad espectral de un proceso MA(q)]

Como:

* `$\Large f_e\left(\omega\right)=\frac{{\sigma_{e}^{2}}}{{2\pi}}\;;\;\;-\pi\leqslant\omega\leqslant\pi$` (densidad espectral del ruido blanco)

* La función de transferencia en este caso es:

`$$\Large \Gamma\left(\omega\right)=\sum\limits _{u}{g_{u}\cdot e^{-i\omega u}}=\sum\limits _{u=0}^q{b_{u}\cdot e^{-i\omega u}}$$`
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se sigue que, si `$X(t)$` es un proceso MA(q), su densidad espectral es:

.resalta[
`$$\Large f_X(\omega) = f_e(\omega)\cdot \left|\Gamma(\omega)\right|^2=\frac{{\sigma_{e}^{2}}}{{2\pi}}\left|\sum\limits _{u=0}^q{b_{u}\cdot e^{-i\omega u}}\right|^2,\;\; -\pi\le \omega\le \pi$$`

]

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## .blue[Ejemplo: densidad espectral de un proceso MA(4) con varianza 1]