Estadística y Procesos Estocásticos Tema 6: Procesos Estacionarios: Análisis Espectral

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# Estadística y Procesos Estocásticos <br> Tema 6: Procesos Estacionarios: Análisis Espectral
### <br><br><br><br><br><br><br>Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

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background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/darkGaussianBlur.jpg)
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# Procesos armónicos

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## .blue[Procesos armónicos]

Ya hemos visto que un .red[ __Proceso Armónico__] es un proceso estocástico de la forma:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
]

donde:

* Las amplitudes `$A_k$` son __constantes__.
* Las frecuencias `$\omega_k$` son también __constantes__
* Las fases `$\varphi_1, \varphi_2,\dots, \varphi_n$` son __variables aleatorias__ independientes e idénticamente distribuidas, con distribución Uniforme en `$\left[0,2\pi\right]$`

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### .blue[Ejemplo: Superposición de 500 armónicos]

`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{500}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
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## .blue[Procesos armónicos]

Hemos visto también que para la k-esima componente armónica del proceso, `$\large X_k(t) = A_kcos\left(\omega_k t+\varphi_k\right)$`, se tiene que:

<br>

* `$\Large E\left[X_k\left(t\right)\right]=0\,\,\,\forall t.$`

* `$\Large Cov\left(X_k\left(t\right),X_k\left(t+\tau\right)\right)=\frac{A_k^{2}}{2}cos\omega_k\tau\;\;\;\forall t$`

* `$\Large \sigma_k^2 = Var\left(X_k\left(t\right)\right)=\frac{A_k^2}{2}\,\,\forall t$`

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## .blue[Procesos armónicos]

Como consecuencia, un proceso armónico construido como superposición (__suma finita__) de componentes armónicas:
`$$\large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
cumple que:

1. `$\Large E\left[X\left(t\right)\right]=0\;\;\forall t$`

2. `$\Large R(\tau)=Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{A_{k}^{2}}{2}cos\omega_{k}\tau$`

3. `$\Large R(0)=\sigma_X^2=Var\left(X\left(t\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{A_{k}^{2}}{2}=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}$`

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## .blue[Procesos armónicos]

La expresión:

.resalta[
`$$\Large \sigma_X^2=Var\left(X\left(t\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}$$`
]

implica que `$\large \sigma_k^2=\frac{A_k}{2}$` es la contribución del armónico `$X_k(t)=A_k cos(\omega_k t+\varphi)$` a la varianza total del proceso `$X(t)$`:

<table style="width:60%; margin-left: auto; margin-right: auto;" class="table table-striped table-hover table-condensed table-responsive">
 
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;color: white;background-color: #3366ff;"> Frecuencia </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> `\omega_1` </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> `\omega_2` </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> ... </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> `\omega_n` </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Contribución </td>
   <td style="text-align:center;"> `A_1^2/2` </td>
   <td style="text-align:center;"> `A_2^2/2` </td>
   <td style="text-align:center;"> ... </td>
   <td style="text-align:center;"> `A_n^2/2` </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

Si interpretamos el proceso `$X(t)$` como una .red[ __señal__] la varianza `$\sigma_X^2$` del proceso puede interpretarse como la .red[ __potencia__] de la señal, y `$\sigma_k^2$` como la contribución del armónico `$X_k(t)$` a dicha potencia.

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### .blue[Ejemplo: Procesos armónicos: superposición de 5 armónicos]

`$$\Large X\left(t\right)=5cos\left(0.25t+\varphi_{1}\right)+3cos\left(0.5t+\varphi_{2}\right)+cos\left(0.8t+\varphi_{3}\right)+$$`
`$$\Large +4cos\left(0.3t+\varphi_{4}\right)+2cos\left(0.6t+\varphi_{5}\right)$$`

--
.resalta[
__¿Cuál es la contribución de cada armónico a la varianza del proceso (potencia de la señal)?__
]
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### .blue[Ejemplo: Procesos armónicos: superposición de 5 armónicos]

`$$X\left(t\right)=5cos\left(0.25t+\varphi_{1}\right)+4cos\left(0.3t+\varphi_{4}\right)+3cos\left(0.5t+\varphi_{2}\right)+2cos\left(0.6t+\varphi_{5}\right)+cos\left(0.8t+\varphi_{3}\right)$$`

En este ejemplo, la contribución de cada armónico ( `$\omega_k$` ) a la varianza total del proceso sería:

<table style="width:65%; margin-left: auto; margin-right: auto;" class="table table-striped table-hover table-condensed table-responsive">
 
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;color: white;background-color: #3366ff;"> Frecuencia </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> 0.25 </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> 0.30 </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> 0.50 </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> 0.60 </td>
   <td style="text-align:center;color: white;background-color: #3366ff;"> 0.80 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Contribución (`sigma_k^2`) </td>
   <td style="text-align:center;"> 12.50 </td>
   <td style="text-align:center;"> 8.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 4.50 </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.00 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.50 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Contribución (en proporción) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.45 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.29 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.16 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.07 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.02 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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### .blue[Ejemplo: Procesos armónicos: superposición de 5 armónicos]

<br>

* Nótese que esta figura es muy similar a la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

* En lugar de representar la probabilidad que corresponde a cada valor de la variable, cada barra representa la parte de la potencia total (varianza) que corresponde a cada armónico (frecuencia)

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# Densidad espectral

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## .blue[Teorema de representación espectral]

* Un proceso armónico es, en general, de la forma:

`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`

* .blue[ __Teorema de representación espectral__]: Bajo ciertas condiciones, un proceso estacionario puede expresarse como:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=\int_{-\pi}^{\pi}A\left(\omega\right)\cos\omega t\cdot dZ\left(\omega\right)$$`
]

donde `$dZ(\omega)$` expresa la forma en que contribuyen al proceso las frecuencias en el intervalo `$[\omega,\omega+d\omega]$`

.red[La __luz blanca__ es un ejemplo de superposición _no numerable_ de armónicos que recorren todas las frecuencias del intervalo] `$[-\pi,\pi]$` .red[con amplitud] `$A(\omega)$` .red[constante.]

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## .blue[Función de densidad espectral]

* Recordemos que dada una variable aleatoria `$X$` con función de densidad `$f(x)$`:
`$$\large P(a<X\le b)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$`

<br>
--

* Si `$X(t)$` es un proceso estacionario que puede considerarse como una superposición .red[ __continua__] de armónicos con frecuencias en `$[\alpha,\beta]$`, la .red[ __función de densidad espectral__] es una función que permite obtener la contribución de las frecuencias del rango `$[\omega_1,\omega_2]$` a la varianza del proceso (potencia de la señal) mediante:

.resalta[
`$$\Large \int_{\omega_1}^{\omega_2}f\left(\omega\right)d\omega$$`
]

__¿Como calculamos__ `$\Large f(\omega)$` __?__

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## .blue[Función de densidad espectral]

Sea `$\large \left\{ X\left(t\right),\,\,t\in\mathbb{Z}\right\}$` un proceso estacionario que verifica:

`$$\Large \sum_{\tau}\left|R\left(\tau\right)\right|<\infty$$`

Entonces la .red[ __función de densidad espectral__] es:

<br>

.resalta[

$$ \Large f\left(\omega\right)=\frac{1}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau=-\infty}^{\infty}{R\left(\tau\right)\cdot e^{-i\omega\tau}}\;;\;\;-\pi\leqslant\omega\leqslant\pi$$

]

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## .blue[Función de densidad espectral]

* La función de densidad espectral es convergente:

`$$\large \mid f\left(\omega\right)\mid\leq\frac{1}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau=-\infty}^{\infty}{\mid R\left(\tau\right)\cdot e^{-i\omega\tau}\mid=\frac{1}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau=-\infty}^{\infty}{\mid R\left(\tau\right)\mid<\infty}}$$`

<br>
--

* La función de densidad espectral toma valores reales ( `$f\left(\omega\right)\in\mathbb{R}\; \forall \omega$` ): en efecto, teniendo en cuenta que `$\large cos\left(\omega t\right)=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}$` y que `$R(-\tau)=R(\tau)$`:

`$$\large f\left(\omega\right)=\frac{1}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau=-\infty}^{\infty}{R\left(\tau\right)\cdot e^{-i\omega\tau}}=\frac{1}{{2\pi}}\left(R\left(0\right)+\sum\limits _{\tau=1}^{\infty}{\left(R\left(\tau\right)\cdot e^{-i \omega \tau}+R\left(-\tau\right)\cdot e^{i \omega \tau}\right)}\right)$$`

$$ \large = \frac{1}{{2\pi}}\left(R\left(0\right)+2\sum\limits _{\tau=1}^{\infty}{R\left(\tau\right)\cdot\cos\omega\tau}\right)$$

---

## .blue[Función de densidad espectral]

* La función de autocovarianza puede calcularse a partir de la función de densidad espectral mediante:

$$ \large R\left(\tau\right)=\int_{-\pi}^{\pi}{e^{-i \omega \tau}f\left(\omega\right)d\omega\;,\;\;\;\;\tau\in Z}$$

* Por tanto, para `$\tau=0$`:

`$$\large R\left(0\right)=\sigma_{X}^{2}=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\omega\right)d\omega$$`
--

* En consecuencia, la contribución de las frecuencias de un intervalo `$\left[\omega_{1},\omega_{2}\right]$` (banda de frecuencias) a la varianza del proceso (potencia de la señal) es, tal como esperábamos:

`$$\Large \int_{\omega_1}^{\omega_2}f\left(\omega\right)d\omega$$`

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## .blue[Algunos espectros especiales: Ruido blanco]

* Para el ruido blanco:

`$$\Large R\left(\tau\right)=\begin{cases}
\sigma_{\varepsilon}^{2} & \textrm{si }\tau=0\\
0 & \textrm{si }\tau\neq0
\end{cases}$$`

* Por tanto:

`$$\Large f\left(\omega\right)=\frac{1}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau}{R\left(\tau\right)\cdot e^{-i \omega \tau}}=\frac{{\sigma_{X}^{2}}}{{2\pi}}\;;\;\;-\pi\leqslant\omega\leqslant\pi$$`

--
<br>

* Esta función es constante, lo que significa que .red[todas las frecuencias realizan la misma aportación a la potencia de la señal]; esto es lo que ocurre con la luz blanca, de ahí el nombre del proceso.

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## .blue[Algunos espectros especiales: proceso AR(1)]

* Sea `$X(t)$` un proceso AR(1) con parámetro `$a$`, esto es, `$X(t)=a X(t-1) + e(t)$`.

<br>

* Su función de autocovarianza es: `$\large R\left(\tau\right)=a^{\left|\tau\right|}\cdot\sigma_{X}^{2}\;;\;\tau\in \mathbb{Z}$`

<br>

* Su función de densidad espectral es entonces:

`$$\large f\left(\omega\right)=\frac{{\sigma_{X}^{2}}}{{2\pi}}\sum\limits _{\tau=-\infty}^{\infty}{e^{-i \omega \tau}a^{\left|\tau\right|}}=\frac{{\sigma_{X}^{2}}}{{2\pi}}\left({\sum\limits _{\tau=0}^{\infty}{\left({a e^{-i\omega}}\right)^{\tau}}+\sum\limits _{\tau=1}^{\infty}{\left({a e^{i\omega}}\right)^{\tau}}}\right)=$$`
--

`$$\Large =\frac{\sigma_{X}^{2}}{2\pi}\left(\frac{1}{1-ae^{-i\omega}}+\frac{ae^{i\omega}}{1-ae^{i\omega}}\right)=\frac{\sigma_{X}^{2}\left(1-a^{2}\right)}{2\pi\left(1-2a\cos\omega+a^{2}\right)}$$`
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## .blue[Algunos espectros especiales: proceso AR(1)]

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## .blue[Algunos espectros especiales: proceso AR(1)]

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## .blue[Algunos espectros especiales: proceso AR(1)]