Estadística y Procesos Estocásticos Tema 6: Procesos Estacionarios

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# Estadística y Procesos Estocásticos Tema 6: Procesos Estacionarios
### Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

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## Procesos estocásticos

Un .red[ __proceso estocástico__] `$\large \left\{ X_{t}\right\} _{t\in T}$`, donde `$T\subset\mathbb{R}$`, puede definirse de manera laxa como una .red[ _función aleatoria del tiempo_] que modela un fenómeno que evoluciona a lo largo del tiempo de forma aleatoria.

Ejemplos que hemos visto en la asignatura:

* .blue[ _Recorrido aleatorio_] `$\left\{ X_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}$`: posición, después de `$n$` saltos de una partícula que se mueve al azar a izquierda y derecha.

* .blue[ _Cadenas de Markov_] `$\left\{ X_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}$`: sucesiones de variables caracterizadas por la independencia entre pasado y futuro una vez que se conoce el presente.

* .blue[ _Sistemas de colas_] `$N_t$`: número de clientes en un sistema en un instante arbitrario `$t$`, cuando las llegadas y salidas se producen en instantes aleatorios.

Los procesos estocásticos pueden ocurrir en .red[ __tiempo discreto__] (cadenas de Markov) o en .red[ __tiempo continuo__] (Sistemas de colas)

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# Procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio

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## Procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio

Son procesos estocásticos que se caracterizan porque .red[ __algunas de sus propiedades se mantienen constantes a lo largo del tiempo__].

En concreto, un proceso estocástico, `$\left\{ X\left(t\right)\,:\,t\in T\right\}$`, con espacio de tiempos `$T\subset\mathbb{R}$` es .red[ __estacionario en sentido amplio__] si:

__1.__ .blue[Su valor medio se mantiene constante en el tiempo:]

.resalta[
`$$\large E\left[{X\left(t\right)}\right]=\mu\,\,,\,\forall t\in T$$`
]

__2.__ .blue[La covarianza entre observaciones del proceso depende solamente del tiempo] `$\tau$` .blue[que las separa y no del momento] `$t$` .blue[en que se producen]

.resalta[
`$$\large \textrm{cov}\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=R\left(\tau\right)$$` 
]

`$\large R(\tau)$` se denomina .red[ __función de autocovarianza__]

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## Procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio

En particular, si elegimos `$\tau=0$`, resulta:

.resalta[
$$\large \sigma_X^2=\textrm{var}\left(X\left(t\right)\right) = \textrm{cov}\left(X\left(t\right),X\left(t\right)\right)= R\left(0\right) $$
]

y por tanto, .blue[la varianza de un proceso estacionario en sentido amplio es también constante a lo largo del tiempo y su valor es igual a] `$\large R(0)$`.

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## .blue[Ejemplos: Recorrido aleatorio con p=0.6 y q=0.4]

* Claramente el valor esperado de este proceso no es constante en t.

* El recorrido aleatorio con p>q .red[ __no es un proceso estacionario__].

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## .blue[Ejemplo: Recorrido aleatorio con p=0.5 y q=0.5]

* La varianza de este proceso aumenta con t.

* El recorrido aleatorio con p=q .red[ __tampoco es un proceso estacionario__].

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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico]

Un .red[ __Proceso Armónico__] es un proceso estocástico de la forma:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
]

donde:

* Las amplitudes `$A_k$` son constantes.
* Las frecuencias `$\omega_k$` son también constantes
* Las fases `$\varphi_1, \varphi_2,\dots, \varphi_n$` son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con distribución Uniforme en `$\left[0,2\pi\right]$`

Veremos en primer lugar las características de un .red[proceso armónico simple] (con `$\large n=1$`, es decir, con una sóla componente armónica)

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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

`$$\Large X\left(t\right)=3\cdot cos\left(0.3\;t+\varphi\right),\hspace{0.5cm}\varphi\approx U\left[0,2\pi\right]$$`
<img src="tema6-1_Procesos_Estacionarios_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" style="display: block; margin: auto;" />

### .center[ .blue[Una trayectoria del proceso]]

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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

`$$\Large X\left(t\right)=3\cdot cos\left(0.3\;t+\varphi\right),\hspace{0.5cm}\varphi\approx U\left[0,2\pi\right]$$`

### .center[ .blue[Cinco trayectorias del proceso]]

---

## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

`$$\Large X\left(t\right)=3\cdot cos\left(0.3\;t+\varphi\right),\hspace{0.5cm}\varphi\approx U\left[0,2\pi\right]$$`

### .center[ .blue[Cien trayectorias del proceso]]
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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

.resalta[ 
`$\Large E\left[X\left(t\right)\right]=0\,\,\,\forall t:\;$` .blue[ __El proceso armónico tiene esperanza 0 para todo t.__]
]

* Si Y es una variable aleatoria continua definida en `$\left[a,b\right]$` con función de densidad `$f\left(y\right)$`, sabemos que:

`$$E\left[g\left(Y\right)\right]=\int_{a}^{b}g\left(y\right)f\left(y\right)dy$$`
--

* En el caso del proceso armónico, la variable `$\varphi$` es uniforme en `$\left[0,2\pi\right]$`. Por tanto su función de densidad es `$f\left(\varphi\right)=\frac{1}{2\pi}$` y entonces:

`$$E\left[X(t)\right] = E\left[Acos\left(\omega t+\varphi\right)\right] = \int_{0}^{2\pi}Acos\left(\omega t+\varphi\right)\frac{1}{2\pi}d\varphi=\frac{A}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}cos\left(\omega t+\varphi\right)d\varphi=$$`
--

`$$=\frac{A}{2\pi}\left[sen\left(\omega t+\varphi\right)\right]_{0}^{2\pi}=\frac{A}{2\pi}\left(sen\left(\omega t+2\pi\right)-sen\left(\omega t\right)\right)=0$$`

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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

.resalta[ 
`$\Large Var\left[X\left(t\right)\right]=\frac{A^2}{2}\,\,\forall t:\;$` .blue[ __El proceso armónico tiene varianza constante.__]
]

* Como `$E\left[X\left(t\right)\right]=0\,\,\,\forall t$`:

`$$Var\left(X\left(t\right)\right)=E\left[\left(X\left(t\right)\right)^{2}\right]=E\left[A^{2}cos^{2}\left(\omega t+\varphi\right)\right]=\int_{0}^{2\pi}A^{2}cos^{2}\left(\omega t+\varphi\right)\frac{1}{2\pi}d\varphi$$`
--

* Ahora bien:

`$$\left.\begin{array}{ccl}
cos^{2}x-sen^{2}x & = & cos2x\\
cos^{2}x+sen^{2}x & = & 1
\end{array}\right\} \Rightarrow cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}\Rightarrow\int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sen2x$$`

* Por tanto:

`$$Var\left(X\left(t\right)\right)=\frac{A^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}cos^{2}\left(\omega t+\varphi\right)d\varphi=\frac{A^{2}}{2\pi}\left[\frac{1}{2}\left(\omega t+\varphi\right)+\frac{1}{4}sen2\left(\omega t+\varphi\right)\right]_{0}^{2\pi}=$$`
--

`$$\frac{A^{2}}{2\pi}\left[\frac{1}{2}\left(\omega t+2\pi\right)+\frac{1}{4}sen2\left(\omega t+2\pi\right)-\frac{1}{2}\omega t-\frac{1}{4}sen2\omega t\right]=\frac{A^{2}}{2}$$`
---

## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

.resalta[ 
`$\Large Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=\frac{A^{2}}{2}cos\omega\tau\;\;\forall t:\;\;\;$`
.blue[ __la covarianza entre dos observaciones depende sólo del tiempo que las separa__]
]

* En efecto, como `$cos\left(\omega\left(t+\tau\right)+\varphi\right)=cos\left(\omega t+\varphi\right)cos\omega t-sen\left(\omega t+\varphi\right)sen\omega t$`, resulta:

`$$Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=E\left[X\left(t\right)\cdot X\left(t+\tau\right)\right]=E\left[A^{2}cos\left(\omega t+\varphi\right)cos\left(\omega\left(t+\tau\right)+\varphi\right)\right]=$$`
--

`$$A^{2}E\left[cos^{2}\left(\omega t+\varphi\right)cos\omega\tau+cos\left(\omega t+\varphi\right)sen\left(\omega t+\varphi\right)sen\omega\tau\right]=$$`
--

`$$A^{2}cos\omega\tau\cdot E\left[cos^{2}\left(\omega t+\varphi\right)\right]+A^{2}sen\omega\tau\cdot E\left[cos\left(\omega t+\varphi\right)sen\left(\omega t+\varphi\right)\right]=\frac{A^{2}}{2}cos\omega\tau$$`
--
pues `$$E\left[cos\left(\omega t+\varphi\right)sen\left(\omega t+\varphi\right)\right]=\int_{0}^{2\pi}cos\left(\omega t+\varphi\right)sen\left(\omega t+\varphi\right)\frac{1}{2\pi}d\varphi=$$`
`$$\frac{1}{4\pi}\left[sen^{2}\left(\omega t+\varphi\right)\right]_{0}^{2\pi}=0$$`

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## .blue[Ejemplo: Proceso armónico simple]

Así pues el proceso armónico simple `$\large X(t) = Acos\left(\omega t+\varphi\right)$` verifica:

.red[ __1.__] `$\Large E\left[X\left(t\right)\right]=0\,\,\,\forall t.$`

(.blue[la esperanza es constante])

.red[ __2.__] `$\Large Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=\frac{A^{2}}{2}cos\omega\tau\;\;\;\forall t$`

(.blue[la covarianza entre dos observaciones depende sólo del tiempo que las separa])

.resalta[
Por tanto .red[ __el proceso armónico simple es un proceso estacionario en sentido amplio__].
]
--
 
Nótese que además verifica que su varianza es constante:

`$$\Large Var\left[X\left(t\right)\right]=\frac{A^2}{2}\,\,\forall t$$`

---

## .blue[Ejemplo: Proceso armónico con ruido]

`$$\Large \begin{array}{ccl}
X\left(t\right)=3\cdot cos\left(0.3\;t+\varphi\right)+e(t), & \hspace{0.2cm} & \varphi\approx U\left[0,2\pi\right]\\
 &  & e(t)\approx \textrm{iid}\; N(0,0.25)\;\;\forall t
\end{array}$$`

### .center[ .blue[Una trayectoria del proceso]]

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## Procesos estacionarios: función de autocovarianza

.resalta[
`$$\large R\left(\tau\right)=\textrm{cov}\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)$$`
]

.blue[Propiedades:]

__1.__ `$\large R\left(0\right)=\textrm{var}\left(X\left(t\right)\right)=\sigma_{X}^{2}$`

__2.__ `$\large \left|{R\left(\tau\right)}\right|\leqslant R\left(0\right)\forall\tau$`

--

En efecto, el coeficiente de correlación entre `$X(t)$` y `$X(t+\tau)$` es:
`$$r\left(\tau\right)=\frac{Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)}{\sqrt{Var\left(X(t)\right)}\sqrt{Var\left(X(t+\tau)\right)}}=\frac{Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)}{\sqrt{R\left(0\right)}\sqrt{R\left(0\right)}}=\frac{Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)}{R\left(0\right)}$$`
 y como `$|r(\tau)|\le 1$`, se sigue que `$R(\tau)=|Cov(X(t),X(t+\tau))|\le R(0)$`

--

__3.__ `$\large R\left(-\tau\right)=R\left(\tau\right), \,\,\forall\tau$`

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# Procesos estacionarios especiales

* .blue[Proceso de ruido blanco]

* .blue[Procesos Autoregresivos (AR)]

* .blue[Procesos de Media Móvil (MA, _Moving Average_) ]

* .blue[Procesos armónicos]

En lo que sigue consideraremos procesos estacionarios en los que `$T=\mathbb{Z}$` (procesos en tiempo discreto).

Tales procesos en la práctica sirven para modelar __señales digitalizadas__.

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# Proceso de Ruido Blanco

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## .blue[Proceso de ruido blanco]

Un .red[ __Proceso de ruido blanco__] (Proceso puramente aleatorio) es un proceso estacionario en tiempo discreto `$\large \left\{ e\left(t\right)\,:\,t\in\mathbb{Z}\right\}$` que verifica:

.resalta[
1. 
`$$\Large E[e(t)]=0 \; \forall t$$`

2. 
`$$\Large R\left(\tau\right)=\begin{cases}
\sigma_{\varepsilon}^{2} & \textrm{si }\tau=0\\
0 & \textrm{si }\tau\neq0
\end{cases}$$`

]

* Por tanto, un ruido blanco .red[ __es una sucesión de variables incorreladas con varianza constante__].

* En el caso particular de que `$e(t)\approx N(0,\sigma_\varepsilon)\; \forall t \in \mathbb{Z}$`, el ruido blanco se dice .red[__gaussiano__].

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## .blue[Proceso de ruido blanco]

* El ruido es una señal inherente a cualquier transmisión de telecomunicación.

* En la práctica, .red[el ruido tiene múltiples causas independientes entre sí, que suman sus efectos] para producir el ruido que finalmente observamos. Por ello si `$e(t)$` es una realización del proceso de ruido, podemos considerar que:

`$$\Large e(t) = Y_1(t)+Y_2(t)+\dots+Y_k(t)+\dots$$`
--

* Por tanto, por efecto del .red[Teorema del límite central], podemos esperar que para cada `$t$` la variable `$e(t)$` siga una .red[distribución normal]. En circunstancias normales cabe esperar también que `$E[e(t)]=0$`, que la variabilidad sea constante, `$Var(e(t))=\sigma_e^2$`, y que en distintos instantes de tiempo los ruidos se comporten de forma independiente, esto es `$Cov[e(t),e(t+\tau)]=0$`

* De ahí que, en la práctica, en el análisis de las señales que se consideran en Telecomunicación, se asume habitualmente que el ruido es gaussiano.

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### .blue[Ejemplo: ruido blanco gaussiano]
`$$e(t)\approx \textrm{iid}\;\;N(0,1) \;\; \forall t \in \mathbb{Z}$$`

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# Procesos autoregresivos de primer orden, AR(1)

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## .blue[Proceso Autoregresivo de primer orden]

Un proceso estacionario en tiempo discreto `$\left\{ X\left(t\right)\,:\,t\in\mathbb{Z}\right\}$` es .red[ __autorregresivo de orden 1 (AR(1))__] si:

.resalta[

* `$\Large X(t)$` es estacionario

* `$\Large X(t)$` verifica:

`$$\Large X\left(t\right)=\alpha X\left(t-1\right)+e\left(t\right)$$`

]

donde `$\large e(t)$` es un proceso de ruido blanco con varianza `$\sigma^2_e$`, y `$\large |\alpha|<1$`.

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### .blue[Ejemplo: proceso AR(1)]

`$$\Large X(t) = 0.1X(t-1) + e(t), \;\;\; e(t)\approx N(0,0.01)$$`
<img src="tema6-1_Procesos_Estacionarios_files/figure-html/unnamed-chunk-9-1.png" style="display: block; margin: auto;" />

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### .blue[Ejemplo: proceso AR(1)]

`$$\Large X(t) = 0.75X(t-1) + e(t), \;\;\; e(t)\approx N(0,0.01)$$`
<img src="tema6-1_Procesos_Estacionarios_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" style="display: block; margin: auto;" />

---

### .blue[Ejemplo: proceso AR(1)]

`$$\Large X(t) = 0.98X(t-1) + e(t), \;\;\; e(t)\approx N(0,0.01)$$`
<img src="tema6-1_Procesos_Estacionarios_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" style="display: block; margin: auto;" />

Nótese que cuanto más se aproxima `$\large \alpha$` a 1 tanto más depende el valor `$X(t)$` del valor anterior `$X(t-1)$`

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## .blue[Proceso AR(1): Esperanza]

De la definición del proceso AR(1) se sigue que:

`$$X\left(t\right)=\alpha X\left(t-1\right)+e\left(t\right)=$$`
--

`$$=\alpha\left(\alpha X\left(t-2\right)+e\left(t-1\right)\right)+e\left(t\right)=$$`

`$$=\alpha^{2}X\left(t-2\right)+\alpha\cdot e\left(t-1\right)+e\left(t\right)=$$`
--

`$$=\alpha^{3}X\left(t-3\right)+\alpha^{2}e\left(t-2\right)+\alpha\cdot e\left(t-1\right)+
e\left(t\right) = \dots$$`

Por lo que finalmente llegamos a que:

.resalta[

`$$\Large X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha^{k}\cdot e\left(t-k\right)$$`
]

Como `$\large E[e(t)]=0\; \forall t \Rightarrow E[X(t)]=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha^{k}\cdot E[e\left(t-k\right)]=0$`

---

## .blue[Proceso AR(1): Varianza]

Si `$X(t)$` es un proceso AR(1):

`$$X\left(t\right)=\alpha X\left(t-1\right)+\varepsilon\left(t\right)$$`
--
Teniendo en cuenta que `$X(t-1)$` y `$e(t)$` son incorrelados:

`$$Var(X\left(t\right))=\alpha^2 Var(X\left(t-1\right))+Var(e\left(t\right))$$`
--

Para que `$X(t)$` sea estacionario su varianza `$\sigma_X^2$` debe ser constante `$\forall t$`. Por tanto:

`$$\sigma_{X}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{X}^{2}+\sigma_{e}^{2}$$`
--

Por tanto para un proceso AR(1) estacionario se tiene que:

.resalta[

`$$\Large \sigma_{X}^{2}=\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1-\alpha^{2}}$$`
]

---

## .blue[Proceso AR(1): Autocovarianza]

Como el proceso `$\large X(t)$` es incorrelado con el proceso `$\large e(t-k)$`:

`$$\large R\left(\tau\right)=E\left[X\left(t\right)X\left(t+\tau\right)\right]=E\left[X\left(t\right)\left(\alpha X\left(t+\tau-1\right)+e\left(t+\tau-1\right)\right)\right]=$$`
`$$\large =\alpha R\left(\tau-1\right)$$`
--

Procediendo recursivamente:

`$$\large R(\tau)=\alpha R(\tau-1) = \alpha^2 R(\tau-2) = \dots = \alpha^\tau R(0)=\alpha^\tau \sigma_X^2$$`

Para `$\large \tau<0$`, como `$\large R(\tau)=R(-\tau)$` se sigue que `$\large R(\tau)=\alpha^{-\tau}\sigma_X^2$`

Por tanto:

.resalta[

`$$\Large R\left(\tau\right)=\alpha^{\left|\tau\right|}\sigma_{X}^{2}=\frac{\alpha^{\mid\tau\mid}\sigma_{e}^{2}}{1-\alpha^{2}},\,\,\,\,\,\tau\in\mathbb{Z}$$`
]

---

## .blue[Proceso AR(1): Autocovarianza]

`$$\Large R\left(\tau\right)=\frac{\alpha^{\mid\tau\mid}\sigma_{e}^{2}}{1-\alpha^{2}}$$`

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# Procesos de media móvil de orden q MA(q)

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## .blue[Proceso de media móvil de orden q, MA(q)]

Un proceso estacionario en tiempo discreto `$\left\{ X\left(t\right),\;t\in\mathbb{Z}\right\}$` es un .red[ __proceso de medias móviles de orden q__] si:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=b_{0}e\left(t\right)+b_{1}e\left({t-1}\right)+\;...\;+b_{q}e\left({t-q}\right)$$`
]

siendo `$\large \left\{ e\left(t\right),\;t\in\mathbb{Z}\right\}$` un ruido blanco.

Un proceso MA(q) es un .red[ __alisamiento__] o .red[ __suavizado__] de un ruido blanco.

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## .blue[Ejemplo: Proceso MA(4)]

`$$X\left(t\right)=\frac{1}{4}e\left(t\right)+\frac{1}{4}e\left(t-1\right)+\frac{1}{4}e\left(t-2\right)
+\frac{1}{4}e\left(t-3\right)=$$`

`$$=\frac{e\left(t\right)+e\left(t-1\right)+e\left(t-2\right)+e\left(t-3\right)}{4}$$`

---

## .blue[Ejemplo: Proceso MA(15)]

Con q=15 se incrementa el nivel de suavizado del proceso `$e(t)$`:

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## .blue[Ejemplo: Proceso MA(30)]

Con q=30 el suavizado es mucho mayor:

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# Procesos armónicos

---

## .blue[Proceso armónico]

Ya hemos visto que un .red[ __Proceso Armónico__] es un proceso estocástico de la forma:

.resalta[
`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
]

donde:

---

## .blue[Ejemplo: Procesos armónicos: superposición de 3 armónicos]

`$$\Large X\left(t\right)=5cos\left(0.25t+\varphi_{1}\right)+3cos\left(0.5t+\varphi_{2}\right)+cos\left(0.8t+\varphi_{3}\right)$$`
---

## .blue[Ejemplo: Procesos armónicos: superposición de 5 armónicos]

`$$\Large X\left(t\right)=5cos\left(0.25t+\varphi_{1}\right)+3cos\left(0.5t+\varphi_{2}\right)+cos\left(0.8t+\varphi_{3}\right)+$$`
`$$\Large +4cos\left(0.3t+\varphi_{4}\right)+2cos\left(0.6t+\varphi_{5}\right)$$`
---

## .blue[Ejemplo: Superposición de 500 armónicos]

`$$\Large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{500}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$$`
---
## .blue[Proceso armónico]

Hemos visto también que para la k-esima componente armónica del proceso, `$\large X_k(t) = A_kcos\left(\omega_k t+\varphi_k\right)$`, se tiene que:

* `$\Large E\left[X_k\left(t\right)\right]=0\,\,\,\forall t.$`

* `$\Large Cov\left(X_k\left(t\right),X_k\left(t+\tau\right)\right)=\frac{A_k^{2}}{2}cos\omega_k\tau\;\;\;\forall t$`

* `$\Large \sigma_k^2 = Var\left(X_k\left(t\right)\right)=\frac{A_k^2}{2}\,\,\forall t$`

---
## .blue[Procesos armónicos generales]

Dado un proceso armónico `$\large X\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}A_{k}\cdot cos\left(\omega_{k}t+\varphi_{k}\right)$`, donde las amplitudes `$A_k$` y las frecuencias `$\omega_k$` son constantes y las fases `$\varphi_k$` son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en `$\left[0,2\pi\right]$` se cumple que:

1. `$\Large E\left[X\left(t\right)\right]=0\;\;\forall t$`

2. Debido a la independencia de las `$\varphi_k$`:

* `$\large R(\tau)=Cov\left(X\left(t\right),X\left(t+\tau\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{A_{k}^{2}}{2}cos\omega_{k}\tau=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}cos\omega_{k}\tau$`

* `$\large R(0)=\sigma_X^2=Var\left(X\left(t\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}$`

---
## .blue[Procesos armónicos generales]

* Nótese que `$\large Var(X(t))>Var(Y(t))$`

* La potencia de una señal es proporcional a la varianza del proceso que la representa.

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## .blue[Procesos armónicos generales]

.resalta[
`$$\Large R(0)=\sigma_X^2=Var\left(X\left(t\right)\right)=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}^{2}$$`
]

* Esta expresión implica que `$\sigma_k^2$` es la contribución del armónico `$X_k(t)=A_k cos(\omega_k t+\varphi)$` a la varianza del proceso `$X(t)$`.

* Dicha contribución es,además, proporcional al cuadrado de la amplitud del armónico, pues `$\sigma_k^2=\frac{A_k^2}{2}$`

* Si interpretamos el proceso `$X(t)$` como una .red[ __señal__] la varianza `$\sigma_X^2$` del proceso puede interpretarse como la .red[ __potencia__] de la señal, y `$\sigma_k^2$` como la contribución del armónico `$X_k(t)$` a dicha potencia.

* Este es el fundamento de lo que se conoce como .red[ __análisis espectral__]