Estadística y Procesos Estocásticos Tema 3: Distribuciones Multivariantes

class: center, middle, inverse, title-slide

# Estadística y Procesos Estocásticos <br> Tema 3: Distribuciones Multivariantes
### <br><br><br><br><br><br><br>Grado en Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

---

background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg)
background-size: cover
background-position: 15% 45%
class: inverse, top, left

# 1. Variables Aleatorias bidimensionales. Introducción.

---
background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/stat/webEyPE/imagenes/electricidad.jpg)
background-size: 300px
background-position: 80% 6%

## .blue[Ejemplo:]

Una compañía eléctrica clasifica a sus clientes en tres categorías: 1 (domésticos), 2 (empresas del sector servicios), y 3 (empresas del sector industrial). Asimismo, el término de potencia contratado por cada cliente puede ser 1 (bajo), 2 (medio), 3 (alto) ó 4 (muy alto). La tabla siguiente muestra como se distribuyen los clientes de la compañia según categoría y término de potencia contratado:

<table class="table table-striped" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Término de potencia</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Categoría </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;"> 38% </td>
   <td style="text-align:left;"> 12% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;"> 6% </td>
   <td style="text-align:left;"> 21% </td>
   <td style="text-align:left;"> 3% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
   <td style="text-align:left;"> 4% </td>
   <td style="text-align:left;"> 15% </td>
   <td style="text-align:left;"> 1% </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

<br>

Varias representaciones gráficas posibles:

---
<table class="table table-striped" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Término de potencia</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Categoría </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;"> 38% </td>
   <td style="text-align:left;"> 12% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;"> 6% </td>
   <td style="text-align:left;"> 21% </td>
   <td style="text-align:left;"> 3% </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;"> 0% </td>
   <td style="text-align:left;"> 4% </td>
   <td style="text-align:left;"> 15% </td>
   <td style="text-align:left;"> 1% </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
Sumando los totales por filas y por columnas se obtienen los .blue[ __porcentajes de clientes en cada categoría__] (en azul) y los .blue[__porcentajes de clientes según potencia contratada__] (en verde)

<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Término de potencia</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Categoría </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">38%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">12%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">50%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">6%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">21%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">3%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">30%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">4%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">15%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">1%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">20%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">44%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">37%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">18%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">100%</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

Si dividimos el porcentaje de cada casilla por el total de su fila, obtenemos los porcentajes por fila, que indican .blue[ __como se reparten los términos de potencia contratados según la categoría del cliente__]:

<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Término de potencia</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Categoría </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">76%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">24%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">100%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">20%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">70%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">10%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">100%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">20%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">75%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">5%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">100%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">44%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">37%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">18%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">100%</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

Si dividimos el porcentaje de cada casilla por el total de su columna, obtenemos los porcentajes por columna, que indican .blue[ __como se reparten las categorías de clientes según la potencia contratada__]:
<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Término de potencia</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Categoría </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">86.4%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">32.4%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">50%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">13.6%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">56.8%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">16.7%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">30%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">10.8%</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">83.3%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">100%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">20%</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">100%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">100%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">100%</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">100%</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">100%</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

<br>

Supongamos ahora que una empresa de auditoría debe revisar las cuentas de la compañía eléctrica. Para ello debe elegir al azar algunos clientes.

* ¿Cuál es la probabilidad de que elija un cliente doméstico que tenga contratado un término de potencia bajo?

* ¿Cuál es la probabilidad de que elija un cliente doméstico?

* ¿Cuál es la probabilidad de que elija un cliente que tenga contratado un término de potencia bajo?

* Si los auditores han elegido un cliente doméstico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contratado un término de potencia bajo?

* Si los auditories han elegido un cliente que tiene contratado un término de potencia bajo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un cliente doméstico?

<br>

.center[
.resalta[
.red[ __Las respuestas a estas preguntas nos conducen a las distintas distribuciones de probabilidad que estudiaremos en este tema__]
]
]

---

<br>

En el proceso de revisión de cuentas de la compañía eléctrica, cuando la empresa de auditoría elige un cliente al azar, consideraremos las siguientes variables aleatorias:

* `$X$` = _"Categoría del cliente (1:doméstico, 2:servicios, 3:industria)"_

* `$Y$` = _"Término de potencia contratado (1:bajo, 2:medio, 3:alto, 4:muy alto)"_

<br>

.resalta[
Si el cliente se elige al azar, la .red[ __probabilidad__] de que pertenezca a una categoría _X_ concreta y tenga contratado un término de potencia _Y_ determinado coincide con la .red[ __proporción__] de clientes de la compañía eléctrica que cumplen esas condiciones. 
]

---

Por tanto, expresando la tabla inicial en forma de proporciones obtenemos las probabilidades con que podría ser elegido un cliente según categoría y término de potencia contratada:

<table class="table table-striped" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Y (Término de potencia)</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> X (Categoría) </th>
   <th style="text-align:right;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:right;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:right;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:right;"> 4 (muy alto) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.12 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.06 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.21 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.15 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

<br>
--

Entonces:

* ¿Cuál es la probabilidad de que sea elegido un cliente doméstico que tenga contratado un término de potencia bajo?

`$$P(X=1, Y=1) = 0.38$$`

<br>

.center[
.resalta[ Aquí hemos calculado la .red[ __probabilidad conjunta__] de _X_ e _Y_]
]

---

La suma de filas y columnas nos da las proporciones de clientes en cada categoría y según término de potencia contratada:

<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Y (Término de potencia)</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> X (Categoría) </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.38</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.12</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.5</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.06</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.21</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.03</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.3</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.04</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.15</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.01</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.2</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.44</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.37</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.18</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.01</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">1</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

* ¿Cuál es entonces la probabilidad de que sea elegido un cliente doméstico?

`$$P(X=1)= 0.5$$`

* ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un cliente que tenga contratado un término de potencia bajo?

`$$P(Y=1)=0.44$$`
 
--

.resalta[Estas probabilidades se denominan .red[ __probabilidades marginales__] de _X_ e _Y_ respectivamente]

---

Dividiendo la proporción en cada casilla por el total de su fila, obtenemos las proporciones por fila, que indican .blue[ __como es la distribución de probabilidad del término de potencia contratado para cada categoría de cliente__]:

<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Y (Término de potencia)</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> X (Categoría) </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.76</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.24</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">1</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.2</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.7</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.1</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">1</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.2</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.75</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.05</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">1</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.44</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.37</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.18</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">0.01</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">1</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

Entonces:

* Si se ha elegido un cliente doméstico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contratado un término de potencia bajo?

`$$P(Y=1 \;|X=1) = 0.76$$`
--

.center[
.resalta[Hemos calculado aquí la .red[__probabilidad de _Y_ condicionada por _X_] __]
]

---

Dividiendo la proporción en cada casilla por el total de su columna, obtenemos las proporciones por columna, que indican .blue[ __como es la distribución de probabilidad de las categorías de clientes para cada término de potencia contratada__]:

<table class="table table-striped" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden; padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Y (Término de potencia)</div></th>
<th style="border-bottom:hidden" colspan="1"></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> X (Categoría) </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 (bajo) </th>
   <th style="text-align:left;"> 2 (medio) </th>
   <th style="text-align:left;"> 3 (alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> 4 (muy alto) </th>
   <th style="text-align:left;"> Total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 1 (uso doméstico) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.86</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.32</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.5</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 2 (sector servicios) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.14</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.57</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.17</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.3</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;"> 3 (sector industrial) </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.11</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">0.83</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: white !important;">1</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightblue !important;">0.2</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;font-weight: bold;background-color: lightgreen !important;"> Total </td>
   <td style="text-align:left;border-left:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1</span> </td>
   <td style="text-align:left;border-right:1px solid;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: lightgreen !important;">1</span> </td>
   <td style="text-align:left;background-color: lightblue !important;background-color: lightgreen !important;"> <span style="     border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: yellow !important;">1</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

Entonces:

* Si se ha elegido un cliente que tiene contratado un término de potencia bajo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un cliente doméstico?

`$$P(X=1 \;|Y=1) = 0.86$$`
--

.center[
.resalta[Hemos calculado aquí la .red[__probabilidad de _X_ condicionada por _Y_] __]
]

---
background-image: url(http://www.dma.ulpgc.es/profesores/personal/asp/descargas/azar.jpg)
background-size: cover
background-position: 15% 45%
class: inverse, top, left

# 2. Distribución conjunta de dos Variables Aleatorias Discretas

---
### Probabilidad conjunta de variables aleatorias discretas.

.resalta[

* Si `$X$` e `$Y$` son dos variables aleatorias __discretas__, la función:

`$$\Large{f(s,t)=P(X=s, Y=t)}$$`
.nobullet[
* se denomina .red[ __función de probabilidad conjunta__] del vector `$(X,Y)$`
]
]

### .blue[Ejemplo:]

`$$\large{(X,Y)=\left(\textrm{Categoría del cliente, Término de potencia contratado} \right)}$$`

---

## Distribuciones de probabilidad marginales

Para un vector `$\left(X,Y\right)$` de variables aleatorias discretas, se define la .red[ __distribución de probabilidad marginal__] de `$X$` como la distribución de probabilidad __unidimensional__ de dicha variable. Se obtiene como:

.resalta[
`$$\Large{\Pr\left(X=s\right)=\sum_{t}\Pr\left(X=s,Y=t\right)}$$`

]

De la misma forma, la distribución marginal de Y se obtiene mediante:

.resalta[
`$$\Large{\Pr\left(Y=t\right)=\sum_{s}\Pr\left(X=s,Y=t\right)}$$`
]

<br>

En nuestro ejemplo de la compañía eléctrica hemos obtenido las distribuciones marginales sumando las probabilidades, respectivamente, por filas (distribución marginal de `$X$`) o por columnas (distribución marginal de `$Y$`).
---
## Distribuciones de probabilidad condicionales

Para un vector `$\left(X,Y\right)$` de variables aleatorias discretas, la .red[ __distribución de _Y_ condicionada por el valor de _X_ __] se calcula como:

.resalta[
`$$\Large{\Pr\left(Y=t\mid X=s\right)=\frac{\Pr\left(X=s,Y=t\right)}{\Pr\left(X=s\right)}}$$`
]

(recuérdese la definición de probabilidad de un suceso `$A$` condicionado por `$B$`, `$P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)/P(B)$` )

Análogamente, la distribución de `$X$` condicionada por el valor de `$Y$` se calcula como:

.resalta[
`$$\Large{\Pr\left(X=s\mid Y=t\right)=\frac{\Pr\left(X=s,Y=t\right)}{\Pr\left(Y=t\right)}}$$`
]

---

## Función de Distribución acumulativa conjunta de dos variables aleatorias.

Dadas dos variables aleatorias X e Y definidas sobre un mismo espacio de probabilidad `$\left(\Omega,\mathcal{F},P\right)$`, se define la .red[ __función de distribución conjunta__] del vector `$\left(X,Y\right)$` como:

.resalta[
`$$\Large{F\left(s,t\right)=\Pr\left(X\leq s,Y\leq t\right)=\Pr\left(\left\{ X\leq s\right\} \cap\left\{ Y\leq t\right\} \right)}$$`
]

<br>

Esta definición es válida tanto para variables discretas como continuas.

<br>

En el caso de que `$X$` e `$Y$` sean discretas:

`$$\Large{F\left(s,t\right)=\sum_{x\le s}\sum_{y\le t}\Pr\left(X=x,Y=y\right)}$$`